2013-湖北卷文-19 解-等比数列奇偶和

本题导读

本题考查等比数列的通项公式。核心在于S关系化项关系、奇偶分类的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年湖北卷(文)） 已知 $S_n$ 是等比数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，$S_4$，$S_2$，$S_3$ 成等差数列，且 $a_2+a_3+a_4=-18$.

(1)求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(2)是否存在正整数 $n$，使得 $S_n⩾2013$？若存在，求出符合条件的所有 $n$ 的集合；若不存在，说明理由.

🔍【思路分析】

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1. （1）$2S_2=S_4+S_3$ → $2a_3+a_4=0$ → $q=-2$；$a_2(1-2+4)=-18$ → $a_2=-6$，$a_n=3(-2{)}^{n-1}$。
2. （2）$S_n=1-(-2{)}^n$；$n$ 偶时 $S_n<0$ 舍；$n$ 奇时 $2^n⩾2012$，$2^{10}=1024<2012⩽2048=2^{11}$ → $n⩾11$ 的奇数。

✅【答案】

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(1)$a_n=3(-2{)}^{n-1}$；(2)存在，$n$ 的集合为 $\{11,13,15,\dots \}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）设公比为 $q$。由 $S_4$，$S_2$，$S_3$ 成等差数列，得 $2S_2=S_4+S_3.$ 又 $S_4=S_2+a_3+a_4$，$S_3=S_2+a_3$，代入： $2S_2=2S_2+2a_3+a_4\Rightarrow 2a_3+a_4=0\Rightarrow a_4=-2a_3.$ 因 $a_3\ne 0$，得 $q=\frac{a_4}{a_3}=-2$。 又 $a_2+a_3+a_4=a_2(1+q+q^2)=a_2(1-2+4)=3a_2=-18$，得 $a_2=-6$。 故 $a_1=\frac{a_2}{q}=3$， $a_n=3(-2{)}^{n-1}(n\in {\mathbf{N}}^{\ast }).$ （2）由（1），$q=-2\ne 1$， $S_n=\frac{3\left[1-(-2{)}^n\right]}{1-(-2)}=1-(-2{)}^n.$ 若 $S_n⩾2013$，则 $1-(-2{)}^n⩾2013$，即 $(-2{)}^n⩽-2012$。

• 当 $n$ 为偶数时，$(-2{)}^n=2^n>0$，上式不成立；
• 当 $n$ 为奇数时，$(-2{)}^n=-2^n$，即 $2^n⩾2012$。 由 $2^{10}=1024<2012⩽2048=2^{11}$，得 $n⩾11$。 故存在这样的正整数 $n$，且所有符合条件的 $n$ 的集合为 $\{11,13,15,\cdots \}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列（等差条件与奇偶分析）

核心方法：等差条件 $2S_2=S_4+S_3$ → $2a_3+a_4=0$ → $q=-2$；$a_2(1+q+q^2)=3a_2=-18$ → $a_2=-6$，$a_n=3(-2{)}^{n-1}$；$S_n=1-(-2{)}^n$，$S_n⩾2013$ ⟺ $n$ 奇且 $2^n⩾2012$ → $n\in \{11,13,15,\dots \}$

避坑指南：等差条件化为 $2a_3+a_4=0$ 后除以 $a_3$ 得 $q=-2$；$S_n=1-(-2{)}^n$ 当 $n$ 为偶数时 $S_n=1-2^n<0$，直接排除偶数——不讨论奇偶硬解 $(-2{)}^n⩽-2012$ 会漏掉这一半；$2^{10}=1024<2012⩽2048=2^{11}$ 卡界。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等比数列的前 n 项和与存在性（奇偶分类，湖北卷解答题）。

结论推广：Sₙ 关系化为项的关系；奇偶分析解幂不等式。

方法推广：等差条件定 $q$ → 定通项 → $S_n$ 奇偶分类解不等式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结
• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷文-17 解-等差数列与裂项求和
• 2013-新课标I卷文-17 解-等差数列裂项求和
• 2013-北京卷文-11 填-等比数列求和