2013-湖北卷理-02 单-集合的补集与交集

本题导读

本题考查集合的表示与运算，以及集合的补集与交集。

📌【题干】

Question

（2013年湖北卷(理)） 已知全集为 $\mathbb{R}$，集合 $A=\{x|(\frac{1}{2}{)}^x\le 1\}$，$B=\{x|x^2-6x+8\le 0\}$，则 $A\cap {\complement }_{\mathbb{R}}B=$()

A. $\{x|x\le 0\}$　　　　　　　　　　　　　　B. $\{x|2\le x\le 4\}$

C. $\{x|0\le x<2\text{ 或 }x>4\}$　　　　　　　　D. $\{x|0<x\le 2\text{ 或 }x\ge 4\}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定集合 A：利用指数函数 $y=(\frac{1}{2}{)}^x$ 的单调性解不等式。注意底数 $0<\frac{1}{2}<1$，函数单调递减。

2. 确定集合 B：解一元二次不等式 $x^2-6x+8\le 0$（因式分解法）。

3. 求补集 ${\complement }_{\mathbb{R}}B$：找出在 $\mathbb{R}$ 中不属于 $B$ 的部分。

4. 求交集：利用数轴法找出 $A$ 与 ${\complement }_{\mathbb{R}}B$ 的公共部分。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求集合 $A$

由 $(\frac{1}{2}{)}^x\le 1$ 得 $(\frac{1}{2}{)}^x\le (\frac{1}{2}{)}^0$。

因为底数 $\frac{1}{2}\in (0,1)$，指数函数单调递减，所以 $x\ge 0$。

故 $A=[0,+\infty )$。

第二步：求集合 $B$

由 $x^2-6x+8\le 0$ 得 $(x-2)(x-4)\le 0$。

根据一元二次不等式“小于零取中间”的原则，解得 $2\le x\le 4$。

故 $B=[2,4]$。

第三步：求补集 ${\complement }_{\mathbb{R}}B$

因为 $B=[2,4]$，所以 ${\complement }_{\mathbb{R}}B=(-\infty ,2)\cup (4,+\infty )$。

第四步：求交集 $A\cap {\complement }_{\mathbb{R}}B$

$A\cap {\complement }_{\mathbb{R}}B=[0,+\infty )\cap \{(-\infty ,2)\cup (4,+\infty )\}$

在数轴上表示如下：

• $A$ 为 0 向右的所有点。

• ${\complement }_{\mathbb{R}}B$ 为 2 向左（不含 2）和 4 向右（不含 4）的点。

  取公共部分得：$[0,2)\cup (4,+\infty )$。

  即 $\{x|0\le x<2\text{ 或 }x>4\}$。

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：集合运算中的补集与交集；指数不等式与一元二次不等式的解法。

核心方法：“先化简，后运算”。集合题目中，条件往往以不等式呈现，必须先解出解集。

避坑指南：- 指数不等式底数小于 1 时，脱去底数需改变不等号方向。 - 补集运算时，注意端点值的开闭性转换（原集合含端点，补集则不含）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：德·摩根定律 $(A\cap B{)}^{\prime }=A^{\prime }\cup B^{\prime }$。

结论推广：若求 $A\cup B$，则结果为 $[0,+\infty )$。

方法推广：复杂集合运算建议全程配合数轴作图，直观且不易遗漏区间。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算
• 03.01 不等式解法体系
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2013-湖南卷文-10 填-集合补集交集
• 2013-湖北卷文-01 单-集合补集交集
• 2013-山东卷文-02 单-集合补集交集