2013-湖北卷理-17 解-正余弦定理

本题导读

本题考查正弦定理与余弦定理。核心在于诱导公式转化角、二倍角公式降幂或转化的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年湖北卷(理)） 在 $△ABC$ 中，角 $A,B,C$ 对应的边分别为 $a,b,c$，已知 $\cos 2A-3\cos (B+C)=1$.

(1)求角 $A$ 的大小；

(2)若 $△ABC$ 的面积 $S=5\sqrt{3}$，$b=5$，求 $\sin B\sin C$ 的值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（求角 $A$）：
   • 消元：利用三角形内角和 $A+B+C=\pi$，得到 $B+C=\pi -A$。代入诱导公式 $\cos (\pi -A)=-\cos A$。
   • 统一函数名：利用二倍角公式 $\cos 2A=2{\cos }^{2}A-1$。
   • 解方程：化简为关于 $\cos A$ 的一元二次方程，解出 $\cos A$，结合 $A\in (0,\pi )$ 确定 $A$。
2. 第二问（求 $\sin B\sin C$）：
   • 求边 $c$：由面积公式 $S=\frac{1}{2}bc\sin A=5\sqrt{3}$，代入已知量求出 $c$。
   • 求边 $a$：已知 $b,c,A$，利用余弦定理 $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ 求出 $a$。
   • 目标转化：利用正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$，推导出 $\sin B=\frac{b\sin A}{a}$，$\sin C=\frac{c\sin A}{a}$。
   • 计算：相乘得出结果。

✅【答案】

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故 $\cos A=\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ）解： 在 $△ABC$ 中，$B+C=\pi -A$。 所以 $\cos (B+C)=\cos (\pi -A)=-\cos A$。 已知等式变为：$\cos 2A+3\cos A=1$。 应用二倍角公式 $\cos 2A=2{\cos }^{2}A-1$： $2{\cos }^{2}A-1+3\cos A=1⟹2{\cos }^{2}A+3\cos A-2=0$ 因式分解得：$(2\cos A-1)(\cos A+2)=0$。 因为 $\cos A\in (-1,1)$，所以 $\cos A+2\ne 0$。 故 $\cos A=\frac{1}{2}$。 又因为 $A\in (0,\pi )$，所以 $A=\frac{\pi }{3}$（或 $60^{\circ }$）。

（Ⅱ）解： 由 $S=\frac{1}{2}bc\sin A=5\sqrt{3}$，及 $A=\frac{\pi }{3},b=5$ 得： $\frac{1}{2}\times 5\times c\times \frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}⟹\frac{5\sqrt{3}}{4}c=5\sqrt{3}⟹c=4$ 在 $△ABC$ 中，由余弦定理： $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=5^2+4^2-2\times 5\times 4\times \frac{1}{2}$ $a^2=25+16-20=21⟹a=\sqrt{21}$ 根据正弦定理 $\sin B=\frac{b\sin A}{a}$，$\sin C=\frac{c\sin A}{a}$： $\sin B\sin C=\frac{bc{\sin }^{2}A}{a^2}=\frac{5\times 4\times (\frac{\sqrt{3}}{2}{)}^2}{21}$ $\sin B\sin C=\frac{20\times \frac{3}{4}}{21}=\frac{15}{21}=\frac{5}{7}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：见详细解析

核心方法：见详细解析

避坑指南：- 解关于三角函数的方程后，必须检查角的范围（$0<A<\pi$）。 - 计算 $\sin B\sin C$ 时，先用边表示角比直接算出角 $B,C$ 的大小更简便。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：见详细解析

结论推广：在三角形中，恒有 $\sin B\sin C=\frac{bc}{a^2}{\sin }^{2}A$。

方法推广：“变角”与“变名”是三角恒等变换的两大核心。本题（Ⅰ）是变角（二倍角变单角），（Ⅱ）是边角互化。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2025-新高考II卷-05 单-余弦定理
• 2015-福建卷文-14 填-正弦定理
• 2015-广东卷文-05 单-余弦定理