2013-湖南卷文-11 填-参数方程平行

本题导读

本题考查参数方程与普通方程互化，以及两条直线的位置关系。

📌【题干】

Question

（2013年湖南卷(文)） 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，若直线 $l_1:\{\begin{array}{l}x=2s+1,\\ y=s\end{array}$（$s$ 为参数）和直线 $l_2:\{\begin{array}{l}x=at,\\ y=2t-1\end{array}$（$t$ 为参数）平行，则常数 $a$ 的值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $l_1$：$s=\frac{x-1}{2}$，$y=\frac{x-1}{2}$，斜率 $k_1=\frac{1}{2}$。
2. $l_2$：$t=\frac{x}{a}$，$y=\frac{2x}{a}-1$，斜率 $k_2=\frac{2}{a}$。
3. 平行 ⟺ $k_2=k_1$：$\frac{2}{a}=\frac{1}{2}$ → $a=4$（截距 $-1\ne -\frac{1}{2}$，不重合）。

✅【答案】

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$4$

✍【详细解析】

Abstract

$l_1$ 消参：由 $x=2s+1$ 得 $s=\frac{x-1}{2}$，代入 $y=s$ 得 $y=\frac{x-1}{2}$，斜率 $k_1=\frac{1}{2}$。 $l_2$ 消参：由 $x=at$ 得 $t=\frac{x}{a}$（$a\ne 0$），代入 $y=2t-1$ 得 $y=\frac{2}{a}x-1$，斜率 $k_2=\frac{2}{a}$。 两直线平行 ⟺ $k_1=k_2$ 且不重合： $\frac{2}{a}=\frac{1}{2}\Rightarrow a=4.$ 此时 $l_2$ 的截距为 $-1$，$l_1$ 的截距为 $-\frac{1}{2}$，两直线不重合。 故 $a=4$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：参数方程与直线平行

核心方法：$l_1$：$y=\frac{x-1}{2}$ 斜率 $\frac{1}{2}$；$l_2$：斜率 $\frac{2}{a}$。平行 ⟺ $\frac{2}{a}=\frac{1}{2}$ 且截距不同 → $a=4$

避坑指南：参数方程先消参化普通方程再比斜率——$x=at$，$y=2t-1$ 里 $a$ 在 $x$ 上，斜率是 $\frac{2}{a}$ 而不是 $\frac{a}{2}$；两直线重合时也”平行方向”，此题截距 $-\frac{1}{2}\ne -\frac{1}{2}$？验一下：$l_1$ 截距 $-\frac{1}{2}$，$l_2$ 截距 $-1$，确实不重合。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：参数方程与直线的位置关系（消参比斜率，湖南卷填空）。

结论推广：消参化普通方程；平行条件。

方法推广：消参 → 写斜率 → 解平行方程。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.03 两条直线的位置关系判定

类题演练 (Links)

• 2013-广东卷文-14 填-极坐标化参数方程
• 2013-新课标I卷文-23 解-极坐标方程
• 2013-新课标II卷文-23 解-参数方程