2013-辽宁卷文-23 解-坐标系与参数方程

本题导读

本题考查坐标系与参数方程。核心在于互化法、消参法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年辽宁卷(文)） 在直角坐标系 $xOy$ 中，以 $O$ 为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系. 圆 $C_1$，直线 $C_2$ 的极坐标方程分别为 $\rho =4\sin \theta$，$\rho \cos \left(\theta -\frac{\pi }{4}\right)=2\sqrt{2}$.

(1)求 $C_1$ 与 $C_2$ 交点的极坐标；

(2)设 $P$ 为 $C_1$ 的圆心，$Q$ 为 $C_1$ 与 $C_2$ 交点连线的中点，已知直线 $PQ$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=t^3+a,\\ y=\frac{b}{2}{t}^3+1,\end{array}$（$t\in \mathbf{R}$ 为参数），求 $a$，$b$ 的值.

🔍【思路分析】

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1. $C_1:x^2+y^2=4y$，$C_2:x+y=4$；交点 $(2,2)$，$(0,4)$ → 极坐标 $(2\sqrt{2},\frac{\pi }{4})$，$(4,\frac{\pi }{2})$。
2. $P(0,2)$，$Q(1,3)$，$PQ:y=x+2$；消参 $y=\frac{b}{2}(x-a)+1$ → $\frac{b}{2}=1$，$1-\frac{b}{2}a=2$ → $a=-1$，$b=2$。

✅【答案】

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(1)$(2\sqrt{2},\frac{\pi }{4})$，$(4,\frac{\pi }{2})$；(2)$a=-1$，$b=2$

✍【详细解析】

Abstract

（1） $\rho =4\sin \theta$ 两边乘 $\rho$：$x^2+y^2=4y$，即 $x^2+(y-2{)}^2=4$（圆心 $(0,2)$，半径 2）。 $\rho \cos \left(\theta -\frac{\pi }{4}\right)=\rho \cos \theta \cos \frac{\pi }{4}+\rho \sin \theta \sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}(x+y)=2\sqrt{2}$，即 $x+y=4$。 联立：$x=4-y$ 代入 $x^2+y^2=4y$：$(4-y{)}^2+y^2=4y\Rightarrow 2y^2-12y+16=0\Rightarrow y=2$ 或 $y=4$。 交点 $(2,2)$，$(0,4)$，极坐标分别为 $\left(2\sqrt{2},\frac{\pi }{4}\right)$，$\left(4,\frac{\pi }{2}\right)$。 （2） $P$ 为圆心 $(0,2)$；$Q$ 为两交点 $(2,2)$、$(0,4)$ 连线的中点，即 $Q(1,3)$。 直线 $PQ$：过 $(0,2)$、$(1,3)$，方程 $y=x+2$。 参数方程消参：$t^3=x-a$，代入 $y=\frac{b}{2}{t}^3+1=\frac{b}{2}(x-a)+1$。 与 $y=x+2$ 比较：斜率 $\frac{b}{2}=1\Rightarrow b=2$；截距 $1-\frac{b}{2}a=1-a=2\Rightarrow a=-1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：极坐标与参数方程（选修4-4）

核心方法：$\rho =4\sin \theta \Rightarrow x^2+y^2=4y$；$\rho \cos \left(\theta -\frac{\pi }{4}\right)=2\sqrt{2}\Rightarrow x+y=4$；交点 $(2\sqrt{2},\frac{\pi }{4})$，$(4,\frac{\pi }{2})$；$P(0,2)$，$Q(1,3)$，$PQ:y=x+2$；参数方程斜率 $\frac{b}{2}=1$、截距 $1-\frac{b}{2}a=2$ → $a=-1$，$b=2$

避坑指南：极坐标化直角：$\rho \cos (\theta -\phi )$ 型展开成 $\rho \cos \theta \cos \phi +\rho \sin \theta \sin \phi$ 再换 $x,y$；参数方程 $x=t^3+a$，$y=\frac{b}{2}{t}^3+1$ 消参得 $y=\frac{b}{2}(x-a)+1$，与 $y=x+2$ 比斜率与截距——两方程中 $t^3$ 的系数是同一个 $t$，别当成两个参数。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：坐标系与参数方程（极坐标互化 + 参数方程定参）。

结论推广：极坐标化直角坐标；消参化普通方程。

方法推广：两方程互化 → 联立求交点 → 中点与圆心定直线 → 比较系数。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换

类题演练 (Links)

• 2013-新课标I卷文-23 解-极坐标方程
• 2013-新课标II卷文-23 解-参数方程
• 2013-湖南卷文-11 填-参数方程平行