2013-湖南卷文-15 填-特征数列

本题导读

本题考查数列的新定义，以及周期数列。

📌【题干】

Question

（2013年湖南卷(文)） 对于 $E=\{a_1,a_2,\cdots ,a_{100}\}$ 的子集 $X=\{a_{i_1},a_{i_2},\cdots ,a_{i_k}\}$，定义 $X$ 的”特征数列”为 $x_1,x_2,\cdots ,x_{100}$，其中 $x_{i_1}=x_{i_2}=\cdots =x_{i_k}=1$，其余项均为 $0$. 例如：子集 $\{a_2,a_3\}$ 的”特征数列”为 $0,1,1,0,0,\cdots ,0$.

(1)子集 $\{a_1,a_3,a_5\}$ 的”特征数列”的前 $3$ 项和等于$\underline{}$；

(2)若 $E$ 的子集 $P$ 的”特征数列” $p_1,p_2,\cdots ,p_{100}$ 满足 $p_1=1$，$p_i+p_{i+1}=1$（$1⩽i⩽99$）；$E$ 的子集 $Q$ 的”特征数列” $q_1,q_2,\cdots ,q_{100}$ 满足 $q_1=1$，$q_j+q_{j+1}+q_{j+2}=1$（$1⩽j⩽98$），则 $P\cap Q$ 的元素个数为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. （1）特征数列为 $1,0,1,0,1,\cdots$，前 $3$ 项 $1+0+1=2$。
2. （2）$p_i+p_{i+1}=1$、$p_1=1$ → $p$：奇数位 $1$，偶数位 $0$。
3. $q_j+q_{j+1}+q_{j+2}=1$、$q_1=1$ → $q$：下标模 $3$ 余 $1$ 的位为 $1$。
4. 同为 $1$：$i$ 为奇数且 $i\equiv 1(\mathrm{mod}3)$ ⟺ $i\equiv 1(\mathrm{mod}6)$ → $1,7,13,\cdots ,97$，共 $\frac{97-1}{6}+1=17$ 个。

✅【答案】

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$2$；$17$

✍【详细解析】

Abstract

（1）$\{a_1,a_3,a_5\}$ 的特征数列为 $1,0,1,0,1,\cdots ,0$，前 $3$ 项和为 $1+0+1=2$。 （2）由 $p_1=1$ 且 $p_i+p_{i+1}=1$ 逐项递推：$p_2=0$，$p_3=1$，$p_4=0$，$\cdots$，即 $p_i=1⟺i$ 为奇数。 由 $q_1=1$ 且 $q_j+q_{j+1}+q_{j+2}=1$ 递推：$q_2=q_3=0$，$q_4=1$，$q_5=q_6=0$，$q_7=1$，$\cdots$，即 $q_j=1⟺j\equiv 1(\mathrm{mod}3)$。 $a_i\in P\cap Q⟺p_i=q_i=1⟺i$ 为奇数且 $i\equiv 1(\mathrm{mod}3)$。 奇数集为 $1,3,5,\cdots$，其中模 $3$ 余 $1$ 的项为 $1,7,13,\cdots$（即 $i\equiv 1(\mathrm{mod}6)$）。 $100$ 以内：$1,7,13,\cdots ,97$，共 $\frac{97-1}{6}+1=17\text{个}.$ 故 $P\cap Q$ 的元素个数为 $17$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：新定义数列（特征数列）

核心方法：(1) $\{a_1,a_3,a_5\}$ 的特征数列 $1,0,1,0,1,\dots$ 前 $3$ 项和 $=2$；(2) $p$：$1,0,1,0,\dots$（奇数位为 $1$）；$q$：$1,0,0,1,0,0,\dots$（下标模 $3$ 余 $1$ 为 $1$）；公共 $1$ 的下标 $\equiv 1(\mathrm{mod}6)$：$1,7,\dots ,97$ 共 $17$ 个

避坑指南：$p_i+p_{i+1}=1$ 是交替 $1,0$；$q_j+q_{j+1}+q_{j+2}=1$ 是周期 $3$ 的 $1,0,0$——两者重合的下标要同时满足”奇数”与”模 $3$ 余 $1$“，用中国剩余式思路合并为模 $6$ 余 $1$；数个数时别忘了等差通项 $⩽100$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：数列的新定义（特征数列的周期与交集，湖南卷填空压轴）。

结论推广：新定义显式化；周期求公共下标。

方法推广：写出两数列通项规律 → 找同为 $1$ 的下标 → 计数。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷文-20 解-数列新定义
• 2013-山东卷文-16 填-正对数新定义
• 2013-浙江卷文-10 单-新定义运算