2013-湖南卷理-05 单-函数图象的交点

本题导读

本题考查函数的图象与性质，以及函数图象的交点。

📌【题干】

Question

（2013年湖南卷(理)） 函数 $f(x)=2\ln x$ 的图象与函数 $g(x)=x^2-4x+5$ 的图象的交点个数为()

A. $3$　　　　　　　B. $2$　　　　　　　C. $1$　　　　　　　D. $0$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 观察函数特征：
   • $f(x)=2\ln x$：定义域为 $(0,+\infty )$，单调递增，且过点 $(1,0)$。
   • $g(x)=x^2-4x+5$：二次函数，配方得 $g(x)=(x-2{)}^2+1$，顶点为 $(2,1)$，开口向上。
2. 数形结合估算：
   • 当 $x=1$ 时，$f(1)=0$，$g(1)=2$，此时 $g(1)>f(1)$。
   • 当 $x=e\approx 2.7$ 时，$f(e)=2$，$g(e)=e^2-4e+5\approx 7.29-10.8+5=1.49$。此时 $f(e)>g(e)$。
   • 由于在 $(1,e)$ 之间发生了函数值的“大小逆转”，说明图象在此区间必有交点。
   • 当 $x$ 趋于正无穷时，$x^2$ 的增长速度远快于 $\ln x$，因此 $g(x)$ 最终会再次超过 $f(x)$，产生第二个交点。
3. 精确判定（构造函数法）： 令 $h(x)=f(x)-g(x)=2\ln x-x^2+4x-5$。研究 $h(x)$ 的极值情况来判定零点个数。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求导确定单调性 $h^{\prime }(x)=\frac{2}{x}-2x+4=\frac{-2x^2+4x+2}{x}=\frac{-2(x^2-2x-1)}{x}$ 令 $h^{\prime }(x)=0$，在 $x>0$ 时，解得 $x=1+\sqrt{2}$。

• 当 $0<x<1+\sqrt{2}$ 时，$h^{\prime }(x)>0$，$h(x)$ 单调递增；
• 当 $x>1+\sqrt{2}$ 时，$h^{\prime }(x)<0$，$h(x)$ 单调递减。 因此 $h(x)$ 在 $x=1+\sqrt{2}$ 处取得最大值。

第二步：判定零点个数

1. 左侧区间：当 $x\to 0^{+}$ 时，$h(x)\to -\infty$。
2. 极值点：$h(1+\sqrt{2})=2\ln (1+\sqrt{2})-(1+\sqrt{2}{)}^2+4(1+\sqrt{2})-5$ $h(1+\sqrt{2})=2\ln (1+\sqrt{2})-(3+2\sqrt{2})+4+4\sqrt{2}-5=2\ln (1+\sqrt{2})+2\sqrt{2}-4$ 由于 $\ln (1+\sqrt{2})>0.88$，$2\sqrt{2}\approx 2.828$，则 $h(1+\sqrt{2})\approx 1.76+2.828-4>0$。
3. 右侧区间：当 $x\to +\infty$ 时，多项式项 $-x^2$ 主导，故 $h(x)\to -\infty$。

由于 $h(x)$ 先从 $-\infty$ 增至正值，再减至 $-\infty$，根据零点存在性定理，函数 $h(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上恰有两个零点，即原图象恰有 2 个交点。

故选：B。


💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：方程根的个数、函数零点的判定、导数在单调性与极值中的应用。

核心方法：“构造函数法”。将两个图象的交点问题转化为一个新函数的零点问题，通过导数分析“增减性”和“端点/极值正负”是标准流程。

避坑指南：单纯靠画图（数形结合）在面对曲线较为平缓或增长较快时可能产生视觉错觉，建议利用导数计算辅助判断。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：方程根的个数、函数零点的判定、导数在单调性与极值中的应用。

结论推广：幂函数（或多项式函数）与对数函数在无穷远处的增长速率差异：对任何 $k>0$，$x^k$ 增长快于 $\ln x$。

方法推广：对于形如 $f(x)=k$ 的参数问题，也可使用此法讨论根的个数。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算
• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2013-湖南卷文-06 单-函数图象交点
• 2015-浙江卷文-05 单-函数图象
• 2015-新课标II卷文-11 单-函数图象