2013-福建卷文-18 解-四棱锥正视图与体积

本题导读

本题考查空间几何体的三视图。核心在于投影方向分析、中点构造平行四边形的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年福建卷(文)） 如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中，$PD\perp$ 平面 $ABCD$，$AB\parallel DC$，$AB\perp AD$，$BC=5$，$DC=3$，$AD=4$，$\angle PAD=60^{\circ }$.

(1)当正视方向与向量 $\overrightarrow{AD}$ 的方向相同时，画出四棱锥 $P-ABCD$ 的正视图（要求标出尺寸，并写出演算过程）；

(2)若 $M$ 为 $PA$ 的中点，求证：$DM\parallel$ 平面 $PBC$；

(3)求三棱锥 $D-PBC$ 的体积.

🔍【思路分析】

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1. (1) 底面直角梯形：过 $C$ 作 $CE\perp AB$ 于 $E$，则 $CE=AD=4$，$BE=\sqrt{B{C}^2-C{E}^2}=\sqrt{25-16}=3$，故 $AB=DC+BE=6$；$PD=AD\tan 60^{\circ }=4\sqrt{3}$。正视方向沿 $\overrightarrow{AD}$，正视图为底 $6$、高 $4\sqrt{3}$ 的三角形。
2. (2) 取 $PB$ 中点 $N$，则 $MN\parallel AB$ 且 $MN=\frac{1}{2}AB=3=DC$，又 $AB\parallel DC$ → 四边形 $MNCD$ 为平行四边形 → $DM\parallel NC\subset$ 面 $PBC$。
3. (3) $V(D-PBC)=V(B-PDC)$；$DC\perp PD$，$S_{△PDC}=\frac{1}{2}\times 3\times 4\sqrt{3}=6\sqrt{3}$；$AD\perp$ 面 $PDC$ → 高 $=AD=4$ → $V=\frac{1}{3}\times 6\sqrt{3}\times 4=8\sqrt{3}$。

✅【答案】

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(1)正视图为底边长 $6$、高 $4\sqrt{3}$ 的三角形（演算见解析） (2)证明见解析 (3)$V_{D-PBC}=8\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）演算：在底面直角梯形 $ABCD$ 中，$AB\parallel DC$，$AB\perp AD$。过 $C$ 作 $CE\perp AB$，垂足为 $E$，则 $CE=AD=4$，$BE=\sqrt{B{C}^2-C{E}^2}=\sqrt{25-16}=3$，故 $AB=DC+BE=3+3=6$。 在 $\text{Rt}△PAD$ 中，$\angle PAD=60^{\circ }$，$PD\perp AD$，故 $PD=AD\tan 60^{\circ }=4\sqrt{3},PA=\frac{AD}{\cos 60^{\circ }}=8.$ 画图：正视方向与 $\overrightarrow{AD}$ 相同（沿 $AD$ 方向看），$A$ 与 $D$ 的投影重合，$P$（在 $D$ 正上方 $4\sqrt{3}$）的投影在底边左端正上方 $4\sqrt{3}$ 处，$B$、$C$ 投影到底边上相距 $6$ 与 $3$ 处。可见轮廓为三角形：底边长 $AB=6$，高 $PD=4\sqrt{3}$。 （2）取 $PB$ 的中点 $N$，连接 $MN$，$NC$。 因为 $M$ 为 $PA$ 中点，所以 $MN$ 是 $△PAB$ 的中位线，$MN\parallel AB$ 且 $MN=\frac{1}{2}AB=3$。 又 $DC\parallel AB$ 且 $DC=3$，所以 $MN\parallel DC$ 且 $MN=DC$，四边形 $MNCD$ 为平行四边形，故 $DM\parallel NC$。 又 $NC\subset$ 平面 $PBC$，$DM\not\subset$ 平面 $PBC$，所以 $DM\parallel$ 平面 $PBC$。 （3）用等体积转换： $V_{D-PBC}=V_{B-PDC}.$ 求底面 $△PDC$ 的面积：$PD\perp$ 平面 $ABCD$ → $PD\perp DC$，故 $S_{△PDC}=\frac{1}{2}\times DC\times PD=\frac{1}{2}\times 3\times 4\sqrt{3}=6\sqrt{3}.$ 求高：$AB\perp AD$ 且 $AB\parallel DC$ → $DC\perp AD$；又 $DC\perp PD$，$PD\cap AD=D$，所以 $DC\perp$ 平面 $PAD$。于是 $AD\perp DC$ 且 $AD\perp PD$ → $AD\perp$ 平面 $PDC$，即 $B$（与 $A$ 同在垂直于 $AD$ 的平面内，$AB\perp AD$）到平面 $PDC$ 的距离为 $AD=4$。 故 $V_{D-PBC}=\frac{1}{3}\times S_{△PDC}\times 4=\frac{1}{3}\times 6\sqrt{3}\times 4=8\sqrt{3}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：四棱锥的正视图、线面平行与体积

核心方法：底面为直角梯形（$AB=6$，$DC=3$，$AD=4$），$PD=AD\tan 60^{\circ }=4\sqrt{3}$；正视图为底 $6$ 高 $4\sqrt{3}$ 的三角形；(2) 取 $PB$ 中点构造平行四边形；(3) $V=\frac{1}{3}\times 6\sqrt{3}\times 4=8\sqrt{3}$

避坑指南：正视图是沿 $\overrightarrow{AD}$ 方向投影：$P$ 投影与 $A$ 重合于底边左端、高 $4\sqrt{3}$，轮廓为三角形——想当然画成矩形就错了；体积用等体积转换 $V(D-PBC)=V(B-PDC)$，底面 $△PDC$ 中 $DC\perp PD$ 面积好算、高恰好是 $AD=4$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：空间几何体的三视图（正视图）、线面平行的判定与棱锥体积（福建卷立体几何大题，三问递进）。

结论推广：$PD=AD\tan \angle PAD$；线面平行：面外一条线平行于面内一条线；等体积法转换底面与高。

方法推广：(1) 先解底面梯形定 $AB=6$、再算 $PD=4\sqrt{3}$ 画正视图；(2) 取 $PB$ 中点 $N$，证 $MNDC$ 平行四边形；(3) 换底：$DC\perp$ 面 $PAD$、$AD\perp$ 面 $PDC$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2013-新课标II卷文-18 解-线面平行与棱锥体积
• 2013-山东卷文-19 解-线面平行面面垂直
• 2013-北京卷文-10 填-三视图体积