2013-福建卷理-14 填-椭圆定义

本题导读

本题考查椭圆，以及椭圆的定义。

📌【题干】

Question

（2013年福建卷(理)） 椭圆 $\Gamma :\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>b>0$) 的左右焦点分别为 $F_1,F_2$，焦距为 $2c$.若直线 $y=\sqrt{3}(x+c)$ 与椭圆的一个交点 $M$ 满足 $\angle M{F}_1{F}_2=2\angle M{F}_2{F}_1$，则该椭圆的离心率等于 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 识别直线特征：
   • 直线 $y=\sqrt{3}(x+c)$ 经过点 $(-c,0)$，即左焦点 $F_1$。
   • 斜率 $k=\sqrt{3}$，说明直线的倾斜角为 $60^{\circ }$。
   • 因此，在焦点三角形 $△M{F}_1{F}_2$ 中，内角 $\angle M{F}_1{F}_2=60^{\circ }$。
2. 确定三角形角度：
   • 由 $\angle M{F}_1{F}_2=2\angle M{F}_2{F}_1$ 且已知 $\angle M{F}_1{F}_2=60^{\circ }$，可算得 $\angle M{F}_2{F}_1=30^{\circ }$。
   • 进一步得出顶角 $\angle F_{1}M{F}_2=180^{\circ }-60^{\circ }-30^{\circ }=90^{\circ }$。
3. 利用正弦定理/几何边长关系：
   • 在直角三角形 $△M{F}_1{F}_2$ 中，已知底边（斜边）$F_1{F}_2=2c$。
   • 求解两条边（焦半径）$M{F}_1$ 和 $M{F}_2$ 的长度。
4. 计算离心率：
   • 根据椭圆定义，$|M{F}_1|+|M{F}_2|=2a$。
   • 利用离心率公式 $e=\frac{c}{a}=\frac{2c}{2a}$ 进行化简。

✅【答案】

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$\sqrt{3}-1$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：分析角度关系 由直线方程 $y=\sqrt{3}(x+c)$ 可知，直线过点 $F_1(-c,0)$ 且其斜率为 $\sqrt{3}$。 所以直线的倾斜角为 $60^{\circ }$，即 $\angle M{F}_1{F}_2=60^{\circ }$。 根据题意：$\angle M{F}_1{F}_2=2\angle M{F}_2{F}_1$， 则 $\angle M{F}_2{F}_1=\frac{1}{2}\times 60^{\circ }=30^{\circ }$。 在 $△M{F}_1{F}_2$ 中，由内角和定理得： $\angle F_{1}M{F}_2=180^{\circ }-60^{\circ }-30^{\circ }=90^{\circ }$。

第二步：计算焦半径长度 在 $\text{Rt}△M{F}_1{F}_2$ 中，斜边 $|F_1{F}_2|=2c$：

• $|M{F}_1|=|F_1{F}_2|\cdot \cos 60^{\circ }=2c\cdot \frac{1}{2}=c$
• $|M{F}_2|=|F_1{F}_2|\cdot \sin 60^{\circ }=2c\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}c$

第三步：计算离心率 根据椭圆定义： $2a=|M{F}_1|+|M{F}_2|=c+\sqrt{3}c=(\sqrt{3}+1)c$ 离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{2c}{2a}=\frac{2c}{(\sqrt{3}+1)c}=\frac{2}{\sqrt{3}+1}$ 分母有理化： $e=\frac{2(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\frac{2(\sqrt{3}-1)}{3-1}=\frac{2(\sqrt{3}-1)}{2}=\sqrt{3}-1$。

故答案为：$\sqrt{3}-1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆的定义（$r_1+r_2=2a$）与焦点三角形的边角关系。

核心方法：“几何特殊化”。本题中 $△M{F}_1{F}_2$ 恰好是一个含 $30^{\circ },60^{\circ }$ 角的直角三角形，这极大简化了计算过程。

避坑指南：要注意直线经过的是左焦点还是右焦点，以及倾斜角与内角的关系。对于过左焦点的直线，倾斜角通常即为 $\angle M{F}_1{F}_2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正弦定理在圆锥曲线中的应用、直线的斜率公式 $k=\tan \theta$。

结论推广：在焦点三角形中，已知 $\angle M{F}_1{F}_2=\alpha$ 且 $\angle M{F}_2{F}_1=\beta$，离心率 $e=\frac{\sin (\alpha +\beta )}{\sin \alpha +\sin \beta }$。

方法推广：“几何特殊化”。本题中 $△M{F}_1{F}_2$ 恰好是一个含 $30^{\circ },60^{\circ }$ 角的直角三角形，这极大简化了计算过程。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.06 离心率专题
• 16.01 直线的倾斜角与斜率

类题演练 (Links)

• 2023-新高考II卷-05 单-椭圆
• 2015-新课标II卷文-20 解-椭圆
• 2015-陕西卷文-20 解-椭圆定值