2013-福建卷理-15 填-定积分

本题导读

本题考查定积分，以及定积分的计算。

📌【题干】

Question

（2013年福建卷(理)） 当 $x\in R,|x|<1$ 时，有如下表达式：

$1+x+x^2+\cdots +x^n+\cdots =\frac{1}{1-x}$

两边同时积分得：${\int }_0^{\frac{1}{2}}1dx+{\int }_0^{\frac{1}{2}}xdx+\cdots +{\int }_0^{\frac{1}{2}}{x}^{n}dx+\cdots ={\int }_0^{\frac{1}{2}}\frac{1}{1-x}dx$

从而得到如下等式：$1\times \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times (\frac{1}{2}{)}^2+\frac{1}{3}\times (\frac{1}{2}{)}^3+\cdots +\frac{1}{n+1}\times (\frac{1}{2}{)}^{n+1}+\cdots =\ln 2$.

请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：

$C_n^0\times \frac{1}{2}+\frac{1}{2}{C}_n^1\times (\frac{1}{2}{)}^2+\frac{1}{3}{C}_n^2\times (\frac{1}{2}{)}^3+\cdots +\frac{1}{n+1}{C}_n^n\times (\frac{1}{2}{)}^{n+1}=$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 观察待求式结构：每一项的系数为 $\frac{1}{k+1}{C}_n^k$，指数项为 $(\frac{1}{2}{)}^{k+1}$。这与定积分 ${\int }_0^{\frac{1}{2}}{x}^{k}dx=\frac{1}{k+1}(\frac{1}{2}{)}^{k+1}$ 的结果完全一致。
2. 构造函数：利用定积分的线性性质，待求式可以写成： ${\sum }_{k=0}^n{C}_n^k{\int }_0^{\frac{1}{2}}{x}^{k}dx={\int }_0^{\frac{1}{2}}\left({\sum }_{k=0}^n{C}_n^k{x}^k\right)dx$
3. 二项式变换：识别出括号内的和式 ${\sum }_{k=0}^n{C}_n^k{x}^k$ 恰好是 $(1+x{)}^n$ 的二项式展开式。
4. 计算积分：计算 ${\int }_0^{\frac{1}{2}}(1+x{)}^{n}dx$ 即可得出答案。

✅【答案】

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$\frac{1}{n+1}\left[{\left(\frac{3}{2}\right)}^{n+1}-1\right]$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：逆向构造积分式 根据材料提示的方法，我们将待求式中的每一项转化为积分形式： $C_n^0{\int }_0^{\frac{1}{2}}1dx+C_n^1{\int }_0^{\frac{1}{2}}xdx+C_n^2{\int }_0^{\frac{1}{2}}{x}^{2}dx+\cdots +C_n^n{\int }_0^{\frac{1}{2}}{x}^{n}dx$ 根据定积分的性质，将其合并为一个积分： $={\int }_0^{\frac{1}{2}}(C_n^0+C_n^{1}x+C_n^2{x}^2+\cdots +C_n^n{x}^n)dx$

第二步：利用二项式定理化简被积函数 由于 $(1+x{)}^n={\sum }_{k=0}^n{C}_n^k{x}^k$，上式被积函数即为 $(1+x{)}^n$。 原式 $={\int }_0^{\frac{1}{2}}(1+x{)}^{n}dx$

第三步：执行积分运算 ${\int }_0^{\frac{1}{2}}(1+x{)}^{n}dx={\left[\frac{1}{n+1}(1+x{)}^{n+1}\right]}_0^{\frac{1}{2}}$ 代入上限 $\frac{1}{2}$ 和下限 $0$： $=\frac{1}{n+1}{\left(1+\frac{1}{2}\right)}^{n+1}-\frac{1}{n+1}(1+0{)}^{n+1}$ $=\frac{1}{n+1}{\left(\frac{3}{2}\right)}^{n+1}-\frac{1}{n+1}$ $=\frac{1}{n+1}\left[{\left(\frac{3}{2}\right)}^{n+1}-1\right]$

故答案为：$\frac{1}{n+1}\left[{\left(\frac{3}{2}\right)}^{n+1}-1\right]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：本题考查“以积代和”的数学思想，即通过导数或积分来处理数列/级数的求和问题。

核心方法：“类比迁移法”。考生需要从背景材料中提取出“积分”这个动作，并敏锐察觉到 $C_n^k$ 与 $(1+x{)}^n$ 的联系。

避坑指南：- 积分下限必须为 $0$，上限必须为 $1/2$，否则无法凑出对应的指数项。 - 注意 $1^0$ 处的 $C_n^0$ 项不要遗漏。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：函数的幂级数展开、微元法。

结论推广：见详细解析。

方法推广：“类比迁移法”。考生需要从背景材料中提取出“积分”这个动作，并敏锐察觉到 $C_n^k$ 与 $(1+x{)}^n$ 的联系。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结
• 22.01 计数原理、排列与组合
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2013-浙江卷文-18 解-正余弦定理面积
• 2013-重庆卷文-18 解-余弦定理与面积最值