2013-辽宁卷文-03 单-同方向单位向量

本题导读

本题考查平面向量的坐标表示，以及单位向量。

📌【题干】

Question

（2013年辽宁卷(文)） 已知点 $A(1,3)$，$B(4,-1)$，则与向量 $\overrightarrow{AB}$ 同方向的单位向量为()

A. $\left(\frac{3}{5},-\frac{4}{5}\right)$　　　B. $\left(\frac{4}{5},-\frac{3}{5}\right)$　　　C. $\left(-\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)$　　　D. $\left(-\frac{4}{5},\frac{3}{5}\right)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\overrightarrow{AB}=(3,-4)$，$|\overrightarrow{AB}|=5$。
2. 同方向单位向量 $=\left(\frac{3}{5},-\frac{4}{5}\right)$。

✅【答案】

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（A）

✍【详细解析】

Abstract

$\overrightarrow{AB}=(4-1,-1-3)=(3,-4)$， $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{3^2+(-4{)}^2}=5.$ 与 $\overrightarrow{AB}$ 同方向的单位向量为 $\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}=\left(\frac{3}{5},-\frac{4}{5}\right).$ 选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：同方向的单位向量

核心方法：$\overrightarrow{AB}=(3,-4)$，$|\overrightarrow{AB}|=5$ → $\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}=\left(\frac{3}{5},-\frac{4}{5}\right)$

避坑指南：单位向量 = 原向量除以自己的模，方向不变——横纵坐标各除以 5；若取负号就成反方向（C、D 都是陷阱），漏除模直接用 $(3,-4)$ 更是常见错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：单位向量（同方向缩放）。

结论推广：模长归一化。

方法推广：求 $\overrightarrow{AB}$ 与其模 → 相除。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷文-03 单-向量垂直
• 2013-山东卷文-15 填-向量垂直求参
• 2014-大纲卷文-06 单-向量数量积