2013-辽宁卷文-15 填-双曲线焦点弦周长

本题导读

本题考查双曲线的定义，以及双曲线的标准方程与几何性质。

📌【题干】

Question

（2013年辽宁卷(文)） 已知 $F$ 为双曲线 $C:\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ 的左焦点，$P$，$Q$ 为 $C$ 上的点. 若 $\overline{PQ}$ 的长等于虚轴长的 2 倍，点 $A(5,0)$ 在线段 $PQ$ 上，则 $△PQF$ 的周长为 　　.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $a=3$，$b=4$，$c=5$；$A(5,0)$ 为右焦点，$|PQ|=2b\times 2=16$。
2. $P$、$Q$ 在右支：$|PF|=|PA|+6$，$|QF|=|QA|+6$。
3. $|PF|+|QF|=|PQ|+12=28$；周长 $=28+16=44$。

✅【答案】

点击查看答案

$44$

✍【详细解析】

Abstract

由 $C$ 的方程：$a=3$，$b=4$，$c=\sqrt{9+16}=5$。 虚轴长 $2b=8$，故 $|PQ|=2\times 8=16$。 点 $A(5,0)$ 的横坐标恰为 $c=5$，即 $A$ 是右焦点 $F\prime$。 $A$ 在线段 $PQ$ 上且 $P$、$Q$ 在双曲线上：弦 $PQ$ 过右焦点、长 16，$P$、$Q$ 均在右支（$|PQ|=16$ 大于通径 $\frac{2b^2}{a}=\frac{32}{3}$ 不可能同侧更近处取得，且过焦点的弦两端在右支）。 由双曲线定义（右支上的点到左焦点的距离减去到右焦点的距离等于 $2a=6$）： $|PF|=|PF\prime |+6,|QF|=|QF\prime |+6.$ 又 $F\prime$ 在线段 $PQ$ 上：$|PF\prime |+|QF\prime |=|PQ|=16$。 $|PF|+|QF|=\left(|PF\prime |+|QF\prime |\right)+12=16+12=28.$ $△PQF$ 的周长 $=|PF|+|QF|+|PQ|=28+16=44$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线的定义（焦点弦周长）

核心方法：$a=3$，$b=4$，$c=5$；$A(5,0)$ 是右焦点 $F\prime$，$|PQ|=2\times 2b=16$；$P$，$Q$ 在右支：$|PF|+|QF|=(|PF\prime |+2a)+(|QF\prime |+2a)=|PQ|+12=28$ → 周长 $28+16=44$

避坑指南：$A(5,0)$ 恰是右焦点（$c=5$），且 $P$、$Q$ 都在右支：$|PF|=|PF\prime |+2a$（离左焦点更远、多出 $2a$）；$F\prime$ 在线段 $PQ$ 上 → $|PF\prime |+|QF\prime |=|PQ|$——把"$+2a$"写成"$-2a$"（那是左支点）就全盘错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：双曲线定义（右支焦点弦）与三角形周长。

结论推广：定义转化；线段和代换。

方法推广：认 $A$ 为右焦点 → $|PF\prime |+|QF\prime |=|PQ|$ → 右支点加 $2a$ 求周长。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2013-湖南卷文-14 填-双曲线焦点三角形
• 2014-大纲卷文-09 单-椭圆标准方程
• 2014-安徽卷文-21 解-椭圆离心率