2013-辽宁卷理-10 单-空间几何体的结构特征

本题导读

本题考查点、直线、平面之间的位置关系，以及空间几何体的结构特征。

📌【题干】

Question

（2013年辽宁卷(理)） 已知三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 的 6 个顶点都在球 $O$ 的球面上.若 $AB=3$，$AC=4$，$AB\perp AC$，$A{A}_1=12$，则球 $O$ 的半径为()

A. $\frac{3\sqrt{17}}{2}$　　　　　　B. $2\sqrt{10}$　　　　　　C. $\frac{13}{2}$　　　　　　D. $3\sqrt{10}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 几何体特征分析：已知 $AB\perp AC$ 且 $A{A}_1$ 为侧棱（隐含三棱柱为直三棱柱，因为侧棱垂直于底面两边）。底面 $△ABC$ 是直角三角形。
2. 构造长方体：由于底面是直角三角形，该直三棱柱可以看作是一个长、宽、高分别为 $3,4,12$ 的长方体的一半。长方体的 8 个顶点和三棱柱的 6 个顶点都在同一个外接球上。
3. 利用公式求解：长方体外接球的直径等于长方体的体对角线长。设长方体棱长分别为 $a,b,c$，球半径为 $R$，则有 $(2R{)}^2=a^2+b^2+c^2$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：分析几何模型 在直三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，底面 $△ABC$ 中 $AB=3,AC=4$，且 $\angle BAC=90^{\circ }$。 侧棱 $A{A}_1=12$。 我们可以构造一个以 $AB,AC,A{A}_1$ 为相邻三条棱的长方体。 这个长方体的长 $a=3$，宽 $b=4$，高 $c=12$。

第二步：计算体对角线 球 $O$ 是三棱柱的外接球，也是该构造长方体的一个外接球。 设球的直径为 $D$，则长方体的体对角线即为球的直径： $D=\sqrt{a^2+b^2+c^2}=\sqrt{3^2+4^2+12^2}$ $D=\sqrt{9+16+144}=\sqrt{169}=13$

第三步：求半径 球的半径 $R=\frac{D}{2}$： $R=\frac{13}{2}$

故正确答案为：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直棱柱外接球半径计算。

核心方法：补形法。将不规则或半规则几何体补形成长方体，是解决外接球问题的“万能钥匙”，尤其是底面存在直角的情况。

避坑指南：注意题目问的是“半径”还是“直径”或“表面积”。本题计算结果 13 为直径，需除以 2 得到半径。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：勾股定理的空间形式、球的表面积与体积公式。

结论推广：对于底面外接圆半径为 $r$，高为 $h$ 的直棱柱，其外接球半径 $R$ 满足：$R^2=r^2+(\frac{h}{2}{)}^2$。本题中 $r=\frac{BC}{2}=\frac{5}{2}$，$h=12$，代入可验证结果一致。

方法推广：墙角模型（三条棱两两垂直）一律补形为长方体。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 13.02 外接球和内切球模型

类题演练 (Links)

• 2014-福建卷文-19 解-立体几何