2013-重庆卷文-14 填-矩形向量垂直

本题导读

本题考查平面向量的数量积，以及向量垂直的充要条件。

📌【题干】

Question

（2013年重庆卷(文)） 在 $OA$ 为边、$OB$ 为对角线的矩形中，已知 $\overrightarrow{OA}=(-3,1)$，$\overrightarrow{OB}=(-2,k)$，则实数 $k=$ 　　.

🔍【思路分析】

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1. $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=(1,k-1)$。
2. $OA\perp AB$ → $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{AB}=-3+(k-1)=0$。
3. $k=4$。

✅【答案】

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$4$

✍【详细解析】

Abstract

由 $OA$ 是矩形的边、$OB$ 是对角线，知 $OA\perp AB$，且 $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=(-2,k)-(-3,1)=(1,k-1).$ 由垂直条件 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{AB}=(-3)\times 1+1\times (k-1)=k-4=0,$ 解得 $k=4$。 检验：$k=4$ 时 $\overrightarrow{OB}=(-2,4)$，$|\overrightarrow{OA}|=\sqrt{10}$，$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$，两边相等，符合矩形对角线平分且相等的特征。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：矩形的向量垂直条件

核心方法：$OA$ 为边、$OB$ 为对角线 → $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=(1,k-1)$，且 $OA\perp AB$：\n$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{AB}=(-3)\times 1+1\times (k-1)=k-4=0$ → $k=4$

避坑指南：”$OA$ 为边、$OB$ 为对角线”意味着另一条边是 $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$，垂直的是 $OA$ 与 $AB$（不是 $OA$ 与 $OB$）——直接用 $OA\cdot OB=0$ 是典型错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：平面向量的数量积与垂直条件。

结论推广：向量减法（终点减起点）；数量积为零的垂直判定。

方法推广：由几何条件定垂直的边 → 写 $\overrightarrow{AB}$ → 数量积为零解 $k$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 09.06 极化恒等式与矩形大法

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷文-03 单-向量垂直
• 2013-安徽卷文-13 填-向量模与夹角
• 2013-天津卷文-12 填-向量数量积求边长