2013-重庆卷理-03 单-利用基本不等式求最值

本题导读

本题考查基本不等式，以及利用基本不等式求最值。

📌【题干】

Question

（2013年重庆卷(理)） $\sqrt{(3-a)(a+6)}$ ($-6\le a\le 3$) 的最大值为()

A. $9$　　　　　　　B. $\frac{9}{2}$　　　　　　　C. $3$　　　　　　　D. $\frac{3\sqrt{2}}{2}$

🔍【思路分析】

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1. 观察结构：待求式是一个算术平方根，其内部是两个关于 $a$ 的一次因式的乘积。

2. 分析和的特性：注意到两个因式 $(3-a)$ 与 $(a+6)$ 之和为 $(3-a)+(a+6)=9$，是一个定值。

3. 应用基本不等式：对于非负数 $x,y$，有 $\sqrt{xy}\le \frac{x+y}{2}$。

4. 验证等号成立条件：检查当 $3-a=a+6$ 时，得到的 $a$ 值是否在定义域 $[-6,3]$ 内。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

方法一：基本不等式法

令 $x=3-a$，$y=a+6$。

由 $-6\le a\le 3$ 可知，$x\ge 0$ 且 $y\ge 0$。

根据基本不等式 $\sqrt{xy}\le \frac{x+y}{2}$，得：

$\sqrt{(3-a)(a+6)}\le \frac{(3-a)+(a+6)}{2}$

$\sqrt{(3-a)(a+6)}\le \frac{9}{2}$

当且仅当 $3-a=a+6$，即 $2a=-3$，$a=-\frac{3}{2}$ 时，等号成立。

因为 $-\frac{3}{2}\in [-6,3]$，所以最大值为 $\frac{9}{2}$。

方法二：二次函数配方法

设 $f(a)=(3-a)(a+6)=-a^2-3a+18$。

对二次项配方：

$f(a)=-(a^2+3a)+18=-(a+\frac{3}{2}{)}^2+\frac{9}{4}+18=-(a+\frac{3}{2}{)}^2+\frac{81}{4}$

当 $a=-\frac{3}{2}$ 时，$f(a)$ 取得最大值 $\frac{81}{4}$。

因此，原式的最大值为 $\sqrt{\frac{81}{4}}=\frac{9}{2}$。

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：基本不等式 $\sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}$ 的直接应用。

核心方法：“和定积最大”。当两个因式的和为定值时，它们的乘积（或乘积的根式）在两数相等时取得最大值。

避坑指南：使用基本不等式必须满足**“一正、二定、三相等”**。本题中因式非负、和为定值、等号可取，三者均满足。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二次函数图象、算术平均值与几何平均值关系。

结论推广：若求 $(3-a{)}^k(a+6{)}^k$ 的最大值，依然可以使用类似方法。

方法推广：遇到类似 $\sqrt{f(x)}$ 的最值问题，通常先研究被开方数 $f(x)$ 的最值，再开方。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷文-12 单-基本不等式最值
• 2013-天津卷文-14 填-基本不等式最值
• 2026-天津卷-07 单-基本不等式