2013-重庆卷理-15 填-极坐标互化

本题导读

本题考查坐标系与参数方程，以及极坐标系。

📌【题干】

Question

（2013年重庆卷(理)） 在直角坐标系 $xOy$ 中，以原点 $O$ 为极点，$x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为 $\rho \cos \theta =4$ 的直线与曲线 $\{\begin{array}{l}x=t^2\\ y=t^3\end{array}$ ($t$ 为参数) 相交于 $A,B$ 两点，则 $|AB|=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 极坐标方程转化：利用公式 $x=\rho \cos \theta$，将直线的极坐标方程化为直角坐标方程。
2. 参数方程转化：通过消去参数 $t$，将曲线的参数方程化为直角坐标下的普通方程（或直接代入直线方程求解）。
3. 求解交点坐标：将直线方程 $x=4$ 代入曲线方程，求出交点 $A,B$ 的纵坐标。
4. 计算弦长：利用距离公式 $|AB|=|y_1-y_2|$ 得到结果。

✅【答案】

点击查看答案

16

✍【详细解析】

Abstract

第一步：转化直线方程 已知直线的极坐标方程为 $\rho \cos \theta =4$。 根据极坐标与直角坐标的转换公式 $x=\rho \cos \theta$， 得直线的直角坐标方程为： $x=4$ 这是一条垂直于 $x$ 轴的直线。

第二步：转化曲线方程或直接求交点 曲线的参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=t^2\\ y=t^3\end{array}$。 将直线方程 $x=4$ 代入曲线的 $x$ 表达式： $t^2=4⟹t=\pm 2$

第三步：计算交点纵坐标 将 $t$ 的值分别代入 $y=t^3$：

• 当 $t=2$ 时，$y_1=2^3=8$；
• 当 $t=-2$ 时，$y_2=(-2{)}^3=-8$。

所以交点坐标为 $A(4,8)$ 和 $B(4,-8)$。

第四步：计算弦长 $|AB|$ 由于 $A,B$ 两点的横坐标相同，弦 $AB$ 垂直于 $x$ 轴， 其长度为纵坐标之差的绝对值： $|AB|=|y_1-y_2|=|8-(-8)|=16$

故答案为：16。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：见详细解析

核心方法：“方程互化”。在处理涉及极坐标和参数方程的综合题时，统一化为直角坐标普通方程通常是最稳妥且直观的策略。 2. 易错点：消参时要注意范围。虽然本题中 $x=t^2\ge 0$ 与 $x=4$ 兼容，但在其他题目中需关注参数 $t$ 对应的定义域限制。

避坑指南：计算 $t^2=4$ 时不要漏掉负数解 $t=-2$，否则会丢失一个交点。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：极坐标下的圆方程、椭圆的参数方程。

结论推广：曲线 $y^2=x^3$ 称为半立方抛物线。本题考察的是该曲线被垂直直线截得的弦长。

方法推广：若直线斜率不为 0 或无穷大，则需联立方程组利用弦长公式 $|AB|=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|$ 求解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换

类题演练 (Links)

• 2014-广东卷文-14 填-极坐标
• 2013-广东卷文-14 填-极坐标化参数方程
• 2015-湖南卷文-12 填-极坐标方程