2013-重庆卷理-20 解-余弦定理

本题导读

本题考查余弦定理。核心在于恒等变形法、整体代换法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年重庆卷(理)） 在 $△ABC$ 中，内角 $A,B,C$ 的对边分别是 $a,b,c$，且 $a^2+b^2+\sqrt{2}ab=c^2$.

(1)求 $C$；

(2)设 $\cos A\cos B=\frac{3\sqrt{2}}{5}$，$\frac{\cos (\alpha +A)\cos (\alpha +B)}{{\cos }^2\alpha }=\frac{\sqrt{2}}{5}$，求 $\tan \alpha$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（求角）：
   • 观察已知等式 $a^2+b^2+\sqrt{2}ab=c^2$，与余弦定理 $a^2+b^2-2ab\cos C=c^2$ 的结构高度相似。
   • 通过对比系数求出 $\cos C$ 的值，进而确定角 $C$。
2. 第二问（求 $\tan \alpha$）：
   • 展开分子：利用两角和的余弦公式 $\cos (\alpha +A)=\cos \alpha \cos A-\sin \alpha \sin A$。
   • 切弦互化：将展开后的分式除以 ${\cos }^2\alpha$，将正弦和余弦的组合转化为 $\tan \alpha$。
   • 整理方程：展开乘积项，提取公因式，构造出含有 $\sin A\sin B$ 和 $\sin (A+B)$ 的表达式。
   • 整体求值：利用第一问中 $C$ 的结论求出 $A+B$，进而得到 $\sin (A+B)$ 和 $\cos (A+B)$，结合已知条件求出 $\sin A\sin B$。
   • 求解方程：代入数值，解关于 $\tan \alpha$ 的一元二次方程。

✅【答案】

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所以 $C=\frac{3\pi }{4}$。；所以 $\tan \alpha =1$ 或 $\tan \alpha =4$

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ）解： 由已知条件 $a^2+b^2+\sqrt{2}ab=c^2$，得 $a^2+b^2-c^2=-\sqrt{2}ab$。 根据余弦定理： $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{-\sqrt{2}ab}{2ab}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ 因为 $C\in (0,\pi )$， 所以 $C=\frac{3\pi }{4}$。

（Ⅱ）解： 由题意 $\frac{\cos (\alpha +A)\cos (\alpha +B)}{{\cos }^2\alpha }=\frac{\sqrt{2}}{5}$，展开分子得： $\frac{(\cos \alpha \cos A-\sin \alpha \sin A)(\cos \alpha \cos B-\sin \alpha \sin B)}{{\cos }^2\alpha }=\frac{\sqrt{2}}{5}$ 上式等价于： $(\cos A-\tan \alpha \sin A)(\cos B-\tan \alpha \sin B)=\frac{\sqrt{2}}{5}$ 展开并整理： ${\tan }^2\alpha (\sin A\sin B)-\tan \alpha (\sin A\cos B+\cos A\sin B)+\cos A\cos B=\frac{\sqrt{2}}{5}$ 利用和角公式得： ${\tan }^2\alpha (\sin A\sin B)-\tan \alpha \sin (A+B)+\cos A\cos B=\frac{\sqrt{2}}{5}\dots \dots \text{(1)}$

因为 $C=\frac{3\pi }{4}$，在 $△ABC$ 中，$A+B=\pi -\frac{3\pi }{4}=\frac{\pi }{4}$。 所以 $\sin (A+B)=\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos (A+B)=\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。 又已知 $\cos (A+B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B$， 代入已知 $\cos A\cos B=\frac{3\sqrt{2}}{5}$ 得： $\frac{3\sqrt{2}}{5}-\sin A\sin B=\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\sin A\sin B=\frac{3\sqrt{2}}{5}-\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{6\sqrt{2}-5\sqrt{2}}{10}=\frac{\sqrt{2}}{10}$

将数值代入方程 ①： ${\tan }^2\alpha \left(\frac{\sqrt{2}}{10}\right)-\tan \alpha \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+\frac{3\sqrt{2}}{5}=\frac{\sqrt{2}}{5}$ 方程两边同除以 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ 得： ${\tan }^2\alpha -5\tan \alpha +6=2$ ${\tan }^2\alpha -5\tan \alpha +4=0$ 解这个一元二次方程得： $(\tan \alpha -1)(\tan \alpha -4)=0$ 所以 $\tan \alpha =1$ 或 $\tan \alpha =4$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：见详细解析

核心方法：“切弦互化”。在分式中同时出现 $\cos \alpha ,\sin \alpha$ 且分母为 ${\cos }^2\alpha$ 时，分子分母同除以 ${\cos }^2\alpha$ 构造 $\tan \alpha$ 是常规操作。 2. 核心技巧：“整体思想”。通过 $A+B$ 建立 $\sin A\sin B$ 与 $\cos A\cos B$ 的桥梁，避免求单个角的数值…

避坑指南：展开分式时，符号务必准确，特别是 $\cos (\alpha +A)$ 的展开式中是减号。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正弦定理、三角形面积公式、万能公式。

结论推广：在 $△ABC$ 中，$A+B+C=\pi$ 是隐含的最重要条件，常用于角度转换。

方法推广：涉及 $\tan \alpha$ 的方程，若已知正余弦，常用辅助角公式或平方关系 ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ 辅助计算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2025-新高考II卷-05 单-余弦定理
• 2015-广东卷文-05 单-余弦定理
• 2013-上海卷文-05 填-余弦定理求角