2013-陕西卷文-14 填-内接矩形最值

本题导读

本题考查基本不等式，以及二次函数的最值。

📌【题干】

Question

（2013年陕西卷(文)） 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分），则其边长 $x$ 为 　　m.

🔍【思路分析】

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1. 相似：$\frac{y}{40}=\frac{40-x}{40}$ → $y=40-x$。
2. $S=xy=x(40-x)$。
3. $x(40-x)⩽{\left(\frac{40}{2}\right)}^2=400$，等号 $x=40-x$，即 $x=20$。

✅【答案】

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$20$

✍【详细解析】

Abstract

设矩形与三角形底边平行的边长为 $x$，另一边（矩形的高）为 $y$。 图中的三角形是底边长 $40\mathrm{m}$、高 $40\mathrm{m}$ 的锐角三角形，由相似三角形得 $\frac{y}{40}=\frac{40-x}{40}\Rightarrow y=40-x.$ 于是矩形面积 $S=xy=x(40-x).$ 由基本不等式（或配方 $S=-(x-20{)}^2+400$）： $x(40-x)⩽{\left(\frac{x+40-x}{2}\right)}^2=20^2=400,$ 等号当且仅当 $x=40-x$，即 $x=20(\mathrm{m})$ 时成立，此时矩形面积最大。 故所填数值为 $20$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二次函数（基本不等式）求矩形面积最值

核心方法：设矩形在底边上的边长为 $x$、高为 $y$，由相似 $\frac{y}{40}=\frac{40-x}{40}\Rightarrow y=40-x$；$S=x(40-x)⩽{\left(\frac{40}{2}\right)}^2=400$，等号 $x=20$

避坑指南：先相似写出 $y=40-x$（三角形高 $40$、底 $40$），得 $S=x(40-x)$ 后既可用基本不等式 $x(40-x)⩽{\left(\frac{x+40-x}{2}\right)}^2$，也可配方 $-(x-20{)}^2+400$；取等条件 $x=20$ 就是所求边长。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：矩形面积最大（基本不等式 / 二次函数最值）。

结论推广：相似表示边长关系；基本不等式（或配方）取最值。

方法推广：相似定 $y=40-x$ → 写 $S=x(40-x)$ → 基本不等式或配方取等。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷文-12 单-基本不等式最值
• 2013-安徽卷文-20 解-区间长度最值
• 2014-福建卷文-09 单-基本不等式