2013-安徽卷文-20 解-区间长度最值

本题导读

本题考查一元二次不等式的解法。核心在于因式分解定解集、对称性比较端点的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年安徽卷(文)） 设函数 $f(x)=ax-(1+a^2)x^2$，其中 $a>0$，区间 $I=\{x\mid f(x)>0\}$.

(1)求 $I$ 的长度（注：区间 $(\alpha ,\beta )$ 的长度定义为 $\beta -\alpha$）；

(2)给定常数 $k\in (0,1)$，当 $1-k⩽a⩽1+k$ 时，求 $I$ 长度的最小值.

🔍【思路分析】

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1. $f(x)=x\left[a-(1+a^2)x\right]>0$，$a>0$ → $0<x<\frac{a}{1+a^2}$，长度 $L(a)=\frac{a}{1+a^2}$。
2. $L^{\prime }(a)=\frac{1-a^2}{(1+a^2{)}^2}$：$(0,1)$ 增、$(1,+\infty )$ 减；$L(a)=L\left(\frac{1}{a}\right)$。
3. $[1-k,1+k]$ 含 $1$ → 最小值在端点。$\frac{1}{1+k}-(1-k)=\frac{k^2}{1+k}>0$ → $1+k<\frac{1}{1-k}$ → $L(1+k)>L(1-k)$。
4. 最小值 $L(1-k)=\frac{1-k}{1+(1-k{)}^2}$。

✅【答案】

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(1)$I$ 的长度为 $\frac{a}{1+a^2}$ (2)最小值为 $\frac{1-k}{1+(1-k{)}^2}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）$f(x)=ax-(1+a^2)x^2=x\left[a-(1+a^2)x\right]$。 由 $a>0$，$f(x)>0⟺0<x<\frac{a}{1+a^2}$，故 $I=\left(0,\frac{a}{1+a^2}\right)$，其长度 $L(a)=\frac{a}{1+a^2}.$ （2）$L^{\prime }(a)=\frac{(1+a^2)-a\cdot 2a}{(1+a^2{)}^2}=\frac{1-a^2}{(1+a^2{)}^2}$，故 $L(a)$ 在 $(0,1)$ 上单调递增，在 $(1,+\infty )$ 上单调递减，在 $a=1$ 处取得最大值 $\frac{1}{2}$。 又对任意 $a>0$， $L\left(\frac{1}{a}\right)=\frac{\frac{1}{a}}{1+\frac{1}{a^2}}=\frac{a}{1+a^2}=L(a),$ 即 $L$ 在”取倒数”下不变。 区间 $[1-k,1+k]$（$0<k<1$）包含最大值点 $a=1$，故长度最小值只能在端点 $a=1-k$ 或 $a=1+k$ 处取得。 比较两端点：由 $\frac{1}{1+k}-(1-k)=\frac{1-(1-k)(1+k)}{1+k}=\frac{k^2}{1+k}>0,$ 得 $1+k<\frac{1}{1-k}$。而 $L\left(\frac{1}{1-k}\right)=L(1-k)$（对称性），且 $1+k$ 与 $\frac{1}{1-k}$ 同在 $(1,+\infty )$ 内、$L$ 在该区间单调递减，故 $L(1+k)<L\left(\frac{1}{1-k}\right)=L(1-k).$ 所以最小值为 $L(1-k)=\frac{1-k}{1+(1-k{)}^2}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：含参二次不等式的解集长度

核心方法：$f(x)=x\left[a-(1+a^2)x\right]>0$（$a>0$）→ $I=\left(0,\frac{a}{1+a^2}\right)$，长度 $L(a)=\frac{a}{1+a^2}$；(2) $L$ 在 $(0,1)$ 增、$(1,+\infty )$ 减，$L(a)=L\left(\frac{1}{a}\right)$，端点比较得最小 $L(1-k)=\frac{1-k}{1+(1-k{)}^2}$

避坑指南：$L(a)=L\left(\frac{1}{a}\right)$ 的对称性是 (2) 的钥匙：$[1-k,1+k]$ 含最值点 $a=1$，最小值只能在端点；比较 $L(1-k)$ 与 $L(1+k)$ 等价于比较 $1-k$ 与 $\frac{1}{1+k}$——由 $\frac{1}{1+k}-(1-k)=\frac{k^2}{1+k}>0$ 知 $1+k$ 更”靠近 $1$“的对称点在 $1-k$ 一侧 → $L(1-k)$ 最小。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：一元二次不等式的解集与函数最值（区间长度新视角，安徽卷压轴解答题）。

结论推广：因式分解解不等式；$L(a)=\frac{a}{1+a^2}$ 的单调性与对称性 $L(a)=L(1/a)$。

方法推广：(1) 因式分解直接写解集；(2) 定单调区间 → 端点比较（利用对称性）→ 求最小。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷文-12 单-基本不等式最值
• 2013-福建卷文-07 单-指数和取值范围
• 2013-浙江卷文-10 单-新定义运算