2013-陕西卷理-06 单-复数相等

本题导读

本题考查复数的代数表示法，以及复数相等的充要条件。

📌【题干】

Question

（2013年陕西卷(理)） 设 $z_1,z_2$ 是复数，则下列命题中的假命题是()

A. 若 $|z_1-z_2|=0$，则 ${\bar{z}}_1={\bar{z}}_2$

B. 若 $z_1={\bar{z}}_2$，则 ${\bar{z}}_1=z_2$

C. 若 $|z_1|=|z_2|$，则 $z_1{\bar{z}}_1=z_2{\bar{z}}_2$

D. 若 $|z_1|=|z_2|$，则 $z_1^2=z_2^2$

🔍【思路分析】

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1. 逐项判定：利用复数的代数形式 $z=a+bi$（$a,b\in \mathbb{R}$）进行检验。
2. 逻辑推导：
   • 对于 A：模为 0 意味着复数为 0，即两复数相等，从而共轭相等。
   • 对于 B：考察共轭运算的自反性，即 $\overline{(\bar{z})}=z$。
   • 对于 C：考察复数模与共轭的乘积关系 $|z{|}^2=z\bar{z}$。
   • 对于 D：考察模相等是否能推导出平方相等。
3. 寻找反例：如果命题对某些特定复数不成立，则该命题为假。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

选项 A 判定： 若 $|z_1-z_2|=0$，由复数模的定义可知 $z_1-z_2=0$，即 $z_1=z_2$。 若两复数相等，则它们的实部和虚部分别相等，其共轭复数 ${\bar{z}}_1$ 与 ${\bar{z}}_2$ 必然相等。 故 A 是真命题。

选项 B 判定： 已知 $z_1={\bar{z}}_2$。对等式两边同时取共轭： ${\bar{z}}_1=\overline{({\bar{z}}_2)}$ 由于 $\overline{(\bar{z})}=z$，所以 ${\bar{z}}_1=z_2$。 故 B 是真命题。

选项 C 判定： 已知 $|z_1|=|z_2|$。两边平方得 $|z_1{|}^2=|z_2{|}^2$。 根据复数性质 $z\bar{z}=|z{|}^2$，上式可写为： $z_1{\bar{z}}_1=z_2{\bar{z}}_2$ 故 C 是真命题。

选项 D 判定： 若 $|z_1|=|z_2|$，只需两复数到原点的距离相等。 反例法：设 $z_1=1$，$z_2=i$。 则 $|z_1|=1$，$|z_2|=|i|=1$，满足条件。 但 $z_1^2=1^2=1$，$z_2^2=i^2=-1$。 可知 $z_1^2\ne z_2^2$。 故 D 是假命题。

故正确答案为：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数模的平方性质 $|z{|}^2=z\cdot \bar{z}$；共轭复数的定义及 $\overline{\bar{z}}=z$。

核心方法：代数代入法 是复数题的万能工具。将 $z$ 设为 $a+bi$ 可以清晰地将复数问题转化为实数运算。

避坑指南：不要将实数的性质盲目迁移到复数中。例如在实数范围内，若 $|a|=|b|$ 则 $a^2=b^2$ 成立；但在复数范围内，模相等仅代表复平面上点在同一个圆上，并不代表方向（幅角）一致，因此平方不一定相等。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复平面的几何意义（模对应距离）、复数的极坐标表示。

结论推广：在复数集中，$z_1^2=z_2^2⟺(z_1-z_2)(z_1+z_2)=0⟺z_1=z_2$ 或 $z_1=-z_2$。

方法推广：判断一个命题为假，寻找一个简单的反例（如 $1$ 和 $i$，$1$ 和 $-1$）通常比严谨证明更快。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 12.01 数系的扩充与复数

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