2014-上海卷文-02 填-共轭复数

本题导读

考查复数运算。核心是恒等式 $z\bar{z}=|z{|}^2$：分子分母同乘 $\bar{z}$ 即可整体化简。

📌【题干】

Question

（2014年上海卷(文)） 若复数 $z=1+2\mathrm{i}$（$\mathrm{i}$ 为虚数单位），则 $\left(z+\frac{1}{\bar{z}}\right)\cdot \bar{z}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 不必把 $\bar{z}$ 写成 $1-2\mathrm{i}$ 硬算，先做分配。
2. $\left(z+\frac{1}{\bar{z}}\right)\bar{z}=z\bar{z}+\frac{\bar{z}}{\bar{z}}=|z{|}^2+1$。
3. 代 $|z{|}^2=1^2+2^2=5$。

✅【答案】

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$6$

✍【详细解析】

Abstract

由分配律

$\left(z+\frac{1}{\bar{z}}\right)\cdot \bar{z}=z\bar{z}+\frac{\bar{z}}{\bar{z}}=|z{|}^2+1.$

由 $z=1+2\mathrm{i}$ 得 $|z{|}^2=1^2+2^2=5$，故原式 $=5+1=6$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：共轭复数的概念；$z\bar{z}=|z{|}^2$；复数的模。

2. 核心方法：抓住 $z\bar{z}=|z{|}^2$ 做整体化简，避免展开成 $a+b\mathrm{i}$ 后的繁琐运算。

3. 避坑指南：分式中的 $barz$ 横线在部分印刷版本中容易丢失，若按 $\frac{1}{z}$ 理解则结果不是实数 $6$；做题时以”$\bar{z}$ 配 $\bar{z}$ 约分”的结构自检——结果应为实数。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 上海卷复数小题集中在共轭与模，位置稳定在填空题前几题。

2. 结论推广: 一般地 $\left(z+\frac{1}{\bar{z}}\right)\bar{z}=|z{|}^2+1$ 与 $z$ 的具体取值无关（只要 $z\ne 0$）。

3. 方法推广: “见到 $z\bar{z}$ 想模的平方”是复数化简的第一反应。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2014-四川卷文-12 填-复数除法
• 2014-北京卷文-09 填-复数运算