2017-山东卷理-02 单-共轭复数

本题导读

本题考查共轭复数的概念，以及复数模的运算。

📌【题干】

Question

（2017年山东卷(理)） 已知 $a\in \mathbb{R}$，$i$ 是虚数单位，若 $z=a+\sqrt{3}i$，$z\cdot \bar{z}=4$，则 $a=$ ()

A. $1$ 或 $-1$　　　　　B. $\sqrt{7}$ 或 $-\sqrt{7}$　　　　　C. $-\sqrt{3}$　　　　　D. $\sqrt{3}$

🔍【思路分析】

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1. 由 $z\cdot \bar{z}=|z{|}^2=a^2+(\sqrt{3}{)}^2$。
2. 令其等于 $4$，解出 $a$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

$z\cdot \bar{z}=|z{|}^2=a^2+(\sqrt{3}{)}^2=a^2+3$。 由 $z\cdot \bar{z}=4$，得 $a^2+3=4$，即 $a^2=1$，所以 $a=1$ 或 $a=-1$。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：共轭复数、复数模。
2. 核心方法：$z\bar{z}=|z{|}^2=a^2+b^2$。
3. 避坑指南：注意 $a^2=1$ 有两个解，勿漏负解。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考复数基础题。
2. 结论推广：对复数 $z=a+bi$，恒有 $z\bar{z}=a^2+b^2$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2012-湖南卷文-02 单-共轭复数
• 2013-福建卷理-01 单-共轭复数
• 2014-上海卷文-02 填-共轭复数