2014-上海卷文-03 填-绝对值函数求值

本题导读

考查含绝对值函数的求值。先用 $f(2)=1$ 定出参数 $a$，再代 $x=1$。

📌【题干】

Question

（2014年上海卷(文)） 设常数 $a\in \mathbf{R}$，函数 $f(x)=|x-1|+|x^2-a|$，若 $f(2)=1$，则 $f(1)=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. $f(2)=|2-1|+|4-a|=1+|4-a|$。
2. 令其等于 $1$，得 $|4-a|=0$，即 $a=4$。
3. 再算 $f(1)=|1-1|+|1-4|$。

✅【答案】

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$3$

✍【详细解析】

Abstract

$f(2)=|2-1|+|2^2-a|=1+|4-a|=1$，故 $|4-a|=0$，即 $a=4$.

于是 $f(x)=|x-1|+|x^2-4|$，且

$f(1)=|1-1|+|1-4|=0+3=3.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：绝对值的意义；函数值的计算。

2. 核心方法：“先用已知函数值定参，再求目标函数值”，两步分开写清楚。

3. 避坑指南：$f(2)$ 中的 $|x-1|$ 项等于 $1$ 而不是 $0$；若漏加这一项会解出 $a$ 的错误范围。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 上海卷爱考”含参函数 + 特殊函数值”型小题，本质是绝对值意义的直接应用。

2. 结论推广: 若改为 $f(2)=2$，则 $|4-a|=1$，$a=3$ 或 $a=5$，$f(1)$ 有两解 —— 参数不唯一时要分类。

3. 方法推广: “特殊值定参”是含参函数求值的通用入口。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 03.04 绝对值不等式及排序不等式

类题演练 (Links)

• 2014-安徽卷文-09 单-绝对值最值
• 2014-江西卷文-15 填-绝对值不等式