2014-江西卷文-15 填-绝对值不等式

本题导读

把左边分成 $|x|+|x-1|$ 与 $|y|+|y-1|$ 两组，每一组的最小值都是 $1$。

📌【题干】

Question

（2014年江西卷(文)） 已知 $x$，$y\in \mathbf{R}$，若 $|x|+|y|+|x-1|+|y-1|⩽2$，则 $x+y$ 的取值范围为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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$|x|+|x-1|$ 表示数轴上 $x$ 到 $0$ 与 $1$ 的距离之和。

✅【答案】

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$[0,2]$

✍【详细解析】

Abstract

由绝对值的几何意义，$|x|+|x-1|$ 表示数轴上点 $x$ 到 $0$ 与 $1$ 的距离之和，其最小值为 $1$，且等号成立当且仅当 $0⩽x⩽1$。 同理 $|y|+|y-1|⩾1$，等号成立当且仅当 $0⩽y⩽1$。 原不等式即 $\left(|x|+|x-1|\right)+\left(|y|+|y-1|\right)⩽2$，而左边两组之和的最小值为 $1+1=2$，故等号必须成立，从而 $0⩽x⩽1$ 且 $0⩽y⩽1$。 所以 $x+y\in [0,2]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：绝对值的几何意义与不等式

2. 核心方法：和的最小值 + 等号成立条件

3. 避坑指南：本题的关键不是解不等式，而是看出 $|x|+|x-1|⩾1$、$|y|+|y-1|⩾1$，两组之和的最小值恰为 $2$，故原不等式只能取等号，从而 $x$、$y$ 都被限制在 $[0,1]$ 内。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 绝对值不等式的几何解释。

2. 结论推广: $|x-a|+|x-b|⩾|a-b|$，等号成立当且仅当 $x$ 介于 $a$ 与 $b$ 之间。

3. 方法推广: 含多个绝对值的不等式，优先用数轴上的距离意义求最小值与取等条件，而不是分段讨论。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2014-江西卷理-11 单-绝对值三角不等式
• 2014-广东卷理-09 填-绝对值不等式