2014-上海卷文-16 单-复数与集合

本题导读

集合与复数的综合题。按”$a,b$ 各自等于自身的平方”与”交叉相等”两类讨论，后者化为四次方程并用单位根求解。

📌【题干】

Question

（2014年上海卷(文)） 已知互异的复数 $a$，$b$ 满足 $ab\ne 0$，集合 $\{a,b\}=\{a^2,b^2\}$，则 $a+b=$ ()

A. $2$　　　　　　　B. $1$　　　　　　　C. $0$　　　　　　　D. $-1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 集合相等只有两种配对方式：$a=a^2,b=b^2$ 或 $a=b^2,b=a^2$。
2. 第一种给出 $a=b=1$，与互异矛盾。
3. 第二种推出 $a=a^4$，结合互异与 $ab\ne 0$ 得 $a$ 为虚的单位根。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

由 $\{a,b\}=\{a^2,b^2\}$ 分两类。

情形一：$a=a^2$ 且 $b=b^2$。由 $ab\ne 0$ 知 $a,b\ne 0$，故 $a=b=1$，与 $a\ne b$ 矛盾，舍去。

情形二：$a=b^2$ 且 $b=a^2$。代入得 $a=(a^2{)}^2=a^4$，即 $a(a^3-1)=0$。由 $a\ne 0$ 得 $a^3=1$，故 $a\in \left\{1,\omega ,{\omega }^2\right\}$（$\omega =-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}$）。

若 $a=1$，则 $b=1$，与互异矛盾；若 $a=\omega$，则 $b={\omega }^2$；若 $a={\omega }^2$，则 $b=\omega$。两种情形均有

$a+b=\omega +{\omega }^2=-1.$

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：集合相等的意义；复数的乘方；1 的虚立方根性质 $1+\omega +{\omega }^2=0$。

2. 核心方法：“集合相等 ⟹ 元素两种配对方式”，逐一讨论并回验互异性与 $ab\ne 0$。

3. 避坑指南：$a^3=1$ 在复数范围内有三个根，只在实数范围内解会漏掉 $\omega ,{\omega }^2$；情形一中 $a=0$ 或 $b=0$ 必须用 $ab\ne 0$ 剔除。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 上海卷常把复数与集合、方程结合出选择题，考查复数范围内的完整讨论。

2. 结论推广: 若改为 $\{a,b\}=\{a^3,b^3\}$，则 $a$ 需满足 $a^8=a$，讨论类似但根更多，方法一致。

3. 方法推广: “配对分类 + 单位根”是处理集合型复数等式的标准组合。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数
• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2014-四川卷文-15 填-新定义真命题
• 2014-北京卷文-09 填-复数运算