2014-上海卷理-06 填-圆锥的侧面积与底面积

本题导读

本题考查圆锥的基本度量关系。通过侧面积与底面积的倍数关系，推导出母线长与底面半径的比例，进而利用直角三角形性质求出夹角的反三角函数表示。

📌【题干】

Question

（2014年上海卷(理)） 若圆锥的侧面积是底面积的 $3$ 倍，则其母线与底面夹角的大小为 $\underline{}$（结果用反三角函数值表示）.

🔍【思路分析】

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1. 建立等量关系：设圆锥底面半径为 $r$，母线长为 $l$。根据题意列出侧面积 $S_{侧}$ 与底面积 $S_{底}$ 的比例方程。
2. 推导比例：利用公式 $S_{侧}=\pi rl$ 和 $S_{底}=\pi r^2$ 求出 $l$ 与 $r$ 的数量关系。
3. 构造直角三角形：在圆锥的轴截面中，母线、底面半径以及圆锥的高构成直角三角形。母线与底面的夹角 $\theta$ 的邻边为 $r$，斜边为 $l$。
4. 反三角表示：计算 $\cos \theta =\frac{r}{l}$，并将其写成反余弦函数形式。

✅【答案】

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$\arccos \frac{1}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：利用面积关系求母线与半径的比值 设圆锥的底面圆半径为 $r$，母线长为 $l$。 由题意可知：$S_{侧}=3S_{底}$ 代入圆锥面积公式： $\pi rl=3\pi r^2$ 由于 $r>0$，两边同时约去 $\pi r$ 得： $l=3r$

第二步：计算夹角的余弦值 在由高、底面半径、母线组成的直角三角形中，母线与底面所成的角为 $\theta$。 根据三角函数的定义： $\cos \theta =\frac{r}{l}$ 将 $l=3r$ 代入上式得： $\cos \theta =\frac{r}{3r}=\frac{1}{3}$

第三步：得出结论 由于 $\theta$ 是直角三角形中的锐角，利用反三角函数表示为： $\theta =\arccos \frac{1}{3}$

故答案为 $\arccos \frac{1}{3}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆锥的侧面积与底面积公式、母线与底面夹角的计算。

2. 核心方法：由 $\pi rl=3\pi r^2$ 得 $l=3r$，再在轴截面中用 $\cos \theta =\frac{r}{l}$ 求夹角。

3. 避坑指南：结果要求使用反三角函数。虽然可以通过勾股定理求出高 $h=2\sqrt{2}r$ 从而写出 $\arcsin \frac{2\sqrt{2}}{3}$ 或 $\arctan 2\sqrt{2}$，但直接利用已知比例求余弦值并写作 $\arccos$ 是最简便的路径。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 圆锥的轴截面面积、侧面展开图扇形的圆心角。

2. 结论推广: 若圆锥侧面积是底面积的 $n$ 倍，则母线与底面夹角的余弦值恒为 $\frac{1}{n}$。

3. 方法推广: 涉及旋转体（圆柱、圆锥、圆台）的度量问题，通常将其转化为轴截面内的平面几何问题求解。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 07.03 三角函数的图象与性质
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2014-湖南卷文-06 单-圆与圆
• 2023-新高考II卷-09 多-圆锥
• 2015-新课标I卷文-06 单-圆锥体积