2014-上海卷理-07 填-极坐标互化

本题导读

本题考查极坐标方程与直角坐标方程的转换，以及对极轴、极点等几何概念在直角坐标系中对应关系的理解。

📌【题干】

Question

（2014年上海卷(理)） 已知曲线 $C$ 的极坐标方程为 $\rho (3\cos \theta -4\sin \theta )=1$，则 $C$ 与极轴的交点到极点的距离是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 坐标互化：利用极坐标与直角坐标的转换公式 $x=\rho \cos \theta$，$y=\rho \sin \theta$，将极坐标方程化为直角坐标方程。
2. 几何对应：明确极坐标系中的“极轴”对应直角坐标系中的 $x$ 轴正半轴，“极点”对应原点 $(0,0)$。
3. 求交点：在直角坐标方程中令 $y=0$，求出与 $x$ 轴交点的横坐标。
4. 计算距离：交点到原点的距离即为该横坐标的绝对值。

✅【答案】

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$\frac{1}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：将极坐标方程化为直角坐标方程 已知极坐标方程为： $\rho (3\cos \theta -4\sin \theta )=1$ 展开得： $3\rho \cos \theta -4\rho \sin \theta =1$ 代入转换公式 $x=\rho \cos \theta$，$y=\rho \sin \theta$，得直角坐标方程为： $3x-4y=1$ 这是一条直线。

第二步：寻找与极轴的交点 极轴对应直角坐标系中的 $x$ 轴正半轴。令 $y=0$，代入直线方程得： $3x-4(0)=1⟹x=\frac{1}{3}$ 由于 $\frac{1}{3}>0$，该交点确实落在极轴（$x$ 轴正半轴）上，坐标为 $(\frac{1}{3},0)$。

第三步：计算距离 极点对应原点 $(0,0)$。 点 $(\frac{1}{3},0)$ 到原点的距离为： $d=\left|\frac{1}{3}\right|=\frac{1}{3}$

故答案为 $\frac{1}{3}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化。

2. 核心方法：直接代入法。本题也可以不化成直角坐标系，直接在极坐标方程中令 $\theta =0$（极轴方向），得到 $3\rho \cos (0)-4\rho \sin (0)=1$，即 $3\rho =1⟹\rho =\frac{1}{3}$。这里的 $\rho$ 的几何意义正是点到极点的距离。

3. 避坑指南：注意“极轴”是有方向的射线（$\theta =0$），若求得的 $\rho <0$，则说明交点在极轴的反向延长线上。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 极坐标下的圆方程、参数方程化极坐标方程。

2. 结论推广: 直线 $A\rho \cos \theta +B\rho \sin \theta =C$ 与极轴的交点距离为 $|C/A|$。

3. 方法推广: 直接代入法。本题也可以不化成直角坐标系，直接在极坐标方程中令 $\theta =0$（极轴方向），得到 $3\rho \cos (0)-4\rho \sin (0)=1$，即 $3\rho =1⟹\rho =\frac{1}{3}$。这里的 $\rho$ 的几何意义正是点到极点的距离。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换

类题演练 (Links)

• 2013-重庆卷理-15 填-极坐标互化
• 2013-安徽卷理-07 单-极坐标互化
• 2013-天津卷理-11 填-极坐标互化