2014-江西卷理-12 单-极坐标方程

本题导读

本题考查直角坐标方程化极坐标方程。用 $x=\rho \cos \theta$、$y=\rho \sin \theta$ 代入线段方程，整理出 $\rho$ 关于 $\theta$ 的表达式后，还要依据线段的端点定出 $\theta$ 的范围——范围是本题的得分点。

📌【题干】

Question

（2014年江西卷(理)） 若以直角坐标系的原点为极点，$x$ 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段 $y=1-x$（$0\le x\le 1$）的极坐标方程为()

A. $\rho =\frac{1}{\cos \theta +\sin \theta }$，$0\le \theta \le \frac{\pi }{2}$　B. $\rho =\frac{1}{\cos \theta +\sin \theta }$，$0\le \theta \le \frac{\pi }{4}$　C. $\rho =\cos \theta +\sin \theta$，$0\le \theta \le \frac{\pi }{2}$　D. $\rho =\cos \theta +\sin \theta$，$0\le \theta \le \frac{\pi }{4}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 代入互化公式：把 $x=\rho \cos \theta$、$y=\rho \sin \theta$ 代入 $y=1-x$。
2. 整理出 $\rho$：移项得 $\rho (\sin \theta +\cos \theta )=1$，从而 $\rho =\frac{1}{\cos \theta +\sin \theta }$。
3. 定 $\theta$ 的范围：由线段端点 $(1,0)$、$(0,1)$ 对应的极角确定。

✅【答案】

点击查看答案

A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：代入互化公式 将 $x=\rho \cos \theta$、$y=\rho \sin \theta$ 代入 $y=1-x$： $\rho \sin \theta =1-\rho \cos \theta$

第二步：解出 $\rho$ $\rho \sin \theta +\rho \cos \theta =1⟹\rho (\sin \theta +\cos \theta )=1⟹\rho =\frac{1}{\cos \theta +\sin \theta }$

第三步：确定 $\theta$ 的取值范围 由 $0\le x\le 1$ 及 $y=1-x$ 知 $0\le y\le 1$，该线段是以 $(1,0)$、$(0,1)$ 为端点的第一象限线段。

• 端点 $(1,0)$ 对应 $\theta =0$；
• 端点 $(0,1)$ 对应 $\theta =\frac{\pi }{2}$。

故 $0\le \theta \le \frac{\pi }{2}$。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：极坐标与直角坐标的互化，直线的极坐标方程，以及极角范围的确定。

2. 核心方法：互化死守 $x=\rho \cos \theta$、$y=\rho \sin \theta$ 与 ${\rho }^2=x^2+y^2$、$\tan \theta =\frac{y}{x}$；求范围时把“图形的边界点”翻译成极角。

3. 避坑指南：两条互化公式只是“形”的转化，$\theta$ 的范围必须由图形所在位置单独确定，漏掉范围会误选 B；同时注意 $\rho$ 的表达式是 $\frac{1}{\cos \theta +\sin \theta }$，若整理成 $\rho =\cos \theta +\sin \theta$ 则形式与答案不符。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于极坐标系的建立与曲线极坐标方程的求法，是选做模块的常规考法。

2. 结论推广: 不过原点的直线 $ax+by=1$ 的极坐标方程为 $\rho (a\cos \theta +b\sin \theta )=1$；线段与直线的极坐标方程形式相同，区别只在 $\theta$ 的定义区间。

3. 方法推广: 把直角坐标方程化为极坐标方程的一般步骤是“代入 → 整理 → 定范围”；反之由极坐标方程化为直角坐标方程，常先两边同乘 $\rho$ 或利用 ${\rho }^2=x^2+y^2$ 消去 $\theta$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换

类题演练 (Links)

• 2014-上海卷理-07 填-极坐标互化
• 2014-广东卷理-14 填-极坐标互化
• 2014-湖北卷理-16 填-参数方程互化