2014-北京卷文-17 解-线面垂直与体积

本题导读

(1) $AB$ 垂直侧面内两相交直线；(2) 取 $AB$ 中点 $G$，$FGE{C}_1$ 为平行四边形，$EG\parallel C_{1}F$；(3) $V=\frac{\sqrt{3}}{3}$。

📌【题干】

Question

（2014年北京卷(文)） 如图，在三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，侧棱垂直于底面，$AB\perp BC$，$A{A}_1=AC=2$，$BC=1$，$E$，$F$ 分别为 $A_1{C}_1$，$BC$ 的中点.

(1) 求证：平面 $ABE\perp$ 平面 $B_{1}BC{C}_1$；

(2) 求证：$C_{1}F\parallel$ 平面 $ABE$；

(3) 求三棱锥 $E-ABC$ 的体积.

🔍【思路分析】

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(1) $AB$ 垂直侧面内两相交直线；(2) 取 $AB$ 中点 $G$，$FGE{C}_1$ 为平行四边形，$EG\parallel C_{1}F$；(3) $V=\frac{\sqrt{3}}{3}$。

✅【答案】

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见解析 (3) $V=\frac{\sqrt{3}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 侧棱垂直于底面，故 $B{B}_1\perp$ 平面 $ABC$，而 $AB\subset$ 平面 $ABC$，所以 $B{B}_1\perp AB$。

又 $AB\perp BC$，$B{B}_1\cap BC=B$，$B{B}_1$、$BC\subset$ 平面 $B_{1}BC{C}_1$，所以 $AB\perp$ 平面 $B_{1}BC{C}_1$。

$AB\subset$ 平面 $ABE$，所以平面 $ABE\perp$ 平面 $B_{1}BC{C}_1$。

(2) 取 $AB$ 的中点 $G$，连接 $EG$、$FG$。

$F$ 为 $BC$ 中点、$G$ 为 $AB$ 中点，$FG$ 是 $△ABC$ 的中位线：$FG\parallel AC$，$FG=\frac{1}{2}AC=1$。

$E$ 为 $A_1{C}_1$ 中点，$E{C}_1=\frac{1}{2}{A}_1{C}_1=1$；又 $A_1{C}_1\parallel AC$，故 $E{C}_1\parallel AC$。

于是 $C_{1}E\parallel FG$ 且 $C_{1}E=FG$，四边形 $FGE{C}_1$ 为平行四边形，所以 $EG\parallel C_{1}F$。

$EG\subset$ 平面 $ABE$（$E$、$G$ 都在平面 $ABE$ 内），$C_{1}F\not\subset$ 平面 $ABE$，所以 $C_{1}F\parallel$ 平面 $ABE$。

(3) $AB\perp BC$，$AC=2$，$BC=1$，所以 $AB=\sqrt{A{C}^2-B{C}^2}=\sqrt{3}$，

$S_{△ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BC=\frac{\sqrt{3}}{2}$。

$E$ 在 $A_1{C}_1$ 上，而 $A_1{C}_1\parallel AC\subset$ 平面 $ABC$，故 $A_1{C}_1\parallel$ 平面 $ABC$，其上每点到平面 $ABC$ 的距离都等于棱柱的高 $A{A}_1=2$。

$V_{E-ABC}=\frac{1}{3}\cdot S_{△ABC}\cdot 2=\frac{\sqrt{3}}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面垂直的判定与性质；面面垂直的判定；线面平行的判定；棱柱与棱锥的体积

2. 核心方法：“线线垂直 → 线面垂直 → 面面垂直”逐级上升；中点构造平行四边形证线面平行；“平行 ⟹ 距离处处相等”转移高

3. 避坑指南：①(2) 的辅助线是”取 $AB$ 中点 $G$“，中位线 $FG$ 与 $E{C}_1$ 平行且相等才拼出平行四边形，漏掉 $E{C}_1=\frac{1}{2}{A}_1{C}_1$ 这半句就接不上；②(3) 中 $E$ 到底面的距离是棱柱高 2，不是 $E$ 到 $AC$ 中点的什么连线长——”$A_1{C}_1\parallel$ 平面 $ABC$“是距离转移的依据。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 立体几何常规解答题（证明 + 体积），与 2014 年新课标Ⅰ文第 19 题（同款三棱柱）、新课标Ⅰ理第 19 题同型。

2. 结论推广: 一般地，直棱柱中侧棱⊥底面直接提供”现成的垂线”，是证面面垂直的第一抓手；平行于平面的线段上各点到该平面距离相等，锥体的高常靠这一条转移。

3. 方法推广: 立体几何证明题按”线线 → 线面 → 面面”逐级搭建；线面平行优先考虑”中点 + 平行四边形”的中位线套路。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷文-19 解-线面垂直与棱柱高
• 2014-新课标I卷理-19 解-线面垂直