2014-北京卷理-19 解-椭圆方程与性质

本题导读

本题考查椭圆的离心率计算以及直线与圆的位置关系判定。第一问通过标准方程直接求解；第二问通过坐标设定，利用垂直条件建立参数联系，再利用点到直线的距离公式证明直线与圆相切。

📌【题干】

Question

（2014年北京卷(理)） 已知椭圆 $C:x^2+2y^2=4$.

(1) 求椭圆 $C$ 的离心率；

(2) 设 $O$ 为原点，若点 $A$ 在椭圆 $C$ 上，点 $B$ 在直线 $y=2$ 上，且 $OA\perp OB$，求直线 $AB$ 与圆 $x^2+y^2=2$ 的位置关系，并证明你的结论.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问分析：将椭圆方程化为标准形式 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，求出 $a,b$，再根据 $c^2=a^2-b^2$ 求出 $c$，最后由 $e=\frac{c}{a}$ 计算离心率。
2. 第二问分析：
   • 设点与条件转化：设 $A(x_0,y_0)$，$B(t,2)$。由 $OA\perp OB⟹\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=0$，建立 $x_0,y_0,t$ 之间的等量关系。
   • 直线方程：分情况讨论直线 $AB$ 的斜率是否存在。若存在，写出直线 $AB$ 的点斜式或一般式。
   • 位置关系判定：利用圆心到直线的距离 $d$ 与圆半径 $r=\sqrt{2}$ 的大小关系判定。若 $d=r$，则相切。

✅【答案】

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结论：直线 $AB$ 与圆 $x^2+y^2=2$ 相切。；当 $x_0=t$ 时；当 $x_0\ne t$ 时

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求离心率 将椭圆方程 $x^2+2y^2=4$ 化为标准方程： $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$ 由此可知 $a^2=4,b^2=2$， 则 $c^2=a^2-b^2=4-2=2$，即 $c=\sqrt{2}$。 椭圆的离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。

(2) 判定直线 $AB$ 与圆的位置关系 结论：直线 $AB$ 与圆 $x^2+y^2=2$ 相切。 证明如下： 设 $A(x_0,y_0)$，$B(t,2)$。由于 $OA\perp OB$， 则 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=x_{0}t+2y_0=0⟹t=-\frac{2y_0}{x_0}$（$x_0\ne 0$）。

1. 当 $x_0=t$ 时： 代入 $t=-\frac{2y_0}{x_0}$ 得 $x_0^2=-2y_0$。 又点 $A$ 在椭圆上，则 $x_0^2+2y_0^2=4$， 联立得 $-2y_0+2y_0^2=4⟹y_0^2-y_0-2=0$，解得 $y_0=2$ 或 $y_0=-1$。 若 $y_0=2$，则 $x_0^2=-4$（无解）； 若 $y_0=-1$，则 $x_0^2=2$，$x_0=\pm \sqrt{2}$。 此时直线 $AB$ 垂直于 $x$ 轴，方程为 $x=\pm \sqrt{2}$。 圆心 $O(0,0)$ 到直线的距离 $d=\sqrt{2}$，等于圆的半径，直线与圆相切。

2. 当 $x_0\ne t$ 时： 直线 $AB$ 的方程为：$y-2=\frac{y_0-2}{x_0-t}(x-t)$， 化简为一般式：$(y_0-2)x-(x_0-t)y+2x_0-t{y}_0=0$。 圆心 $O(0,0)$ 到直线 $AB$ 的距离 $d=\frac{|2x_0-t{y}_0|}{\sqrt{(y_0-2{)}^2+(x_0-t{)}^2}}$。 将 $t=-\frac{2y_0}{x_0}$ 代入分子： $|2x_0-(-\frac{2y_0}{x_0})y_0|=|\frac{2x_0^2+2y_0^2}{x_0}|$。 由点 $A$ 在椭圆上知 $x_0^2+2y_0^2=4⟹2y_0^2=4-x_0^2$， 分子为 $|\frac{2x_0^2+4-x_0^2}{x_0}|=\frac{x_0^2+4}{|x_0|}$。 同理代入分母并化简（过程见解答图）： 最终计算得 $d=\sqrt{2}$。 由于 $d=r$，直线 $AB$ 与圆 $x^2+y^2=2$ 相切。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆离心率与直线和圆的位置关系。

2. 核心方法：化标准方程求 $e$；由 $OA\perp OB$ 设参，用点到直线距离证 $d=r$。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 椭圆标准方程与垂直条件的向量表示。

2. 结论推广: 满足 $OA\perp OB$ 的椭圆弦端点连线与圆 $x^2+y^2=2$ 相切。

3. 方法推广: 判定直线与圆位置关系用圆心到直线距离比较半径。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.06 离心率专题
• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练 (Links)

• 2013-重庆卷理-21 解-椭圆方程与性质
• 2013-湖北卷理-21 解-椭圆方程与性质
• 2013-浙江卷理-21 解-椭圆方程与性质