2014-四川卷文-13 填-周期函数求值

本题导读

$f\left(\frac{3}{2}\right)=f\left(-\frac{1}{2}\right)$，代入 $-4x^2+2$。

📌【题干】

Question

（2014年四川卷(文)） 设 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上周期为 $2$ 的函数，当 $x\in [-1,1)$ 时，$f(x)=\{\begin{array}{ll}-4x^2+2,& -1⩽x<0,\\ x,& 0⩽x<1,\end{array}$ 则 $f\left(\frac{3}{2}\right)=$＿＿＿＿.

🔍【思路分析】

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周期为 $2$，$\frac{3}{2}-2=-\frac{1}{2}\in [-1,0)$。

✅【答案】

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$1$

✍【详细解析】

Abstract

因为周期 $T=2$，所以 $f\left(\frac{3}{2}\right)=f\left(\frac{3}{2}-2\right)=f\left(-\frac{1}{2}\right)$。 $-\frac{1}{2}\in [-1,0)$，代入 $f(x)=-4x^2+2$：$f\left(-\frac{1}{2}\right)=-4\times \frac{1}{4}+2=1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数的周期性与分段函数求值

2. 核心方法：周期拉回基本区间再代解析式

3. 避坑指南：$T=2$，$f\left(\frac{3}{2}\right)=f\left(\frac{3}{2}-2\right)=f\left(-\frac{1}{2}\right)$，落进 $[-1,0)$ 段；勿代错解析式分支。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 函数的周期性与分段函数。

2. 结论推广: $f(x+T)=f(x)$；求值前先把自变量平移进给解析式的区间。

3. 方法推广: 周期函数求值按”加减整数倍周期 $\to$ 对号入座解析式”两步走。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2014-安徽卷文-14 填-奇函数周期
• 2014-大纲卷文-12 单-抽象函数周期