2014-四川卷文-20 解-椭圆平行四边形

本题导读

(1) $c=2$，$e=\frac{\sqrt{6}}{3}$ 定 $a^2$；(2) 联立 $PQ$ 与椭圆，由 $OT$、$PQ$ 中点重合定参数，再算面积。

📌【题干】

Question

（2014年四川卷(文)） 已知椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左焦点为 $F(-2,0)$，离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$.

(1) 求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2) 设 $O$ 为坐标原点，$T$ 为直线 $x=-3$ 上一点，过 $F$ 作 $TF$ 的垂线交椭圆于 $P,Q$. 当四边形 $OPTQ$ 是平行四边形时，求四边形 $OPTQ$ 的面积.

🔍【思路分析】

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(1) $a^2=\frac{c^2}{e^2}=6$；(2) 设 $T(-3,t)$，$PQ$ 方向 $(t,1)$，联立后由中点重合得 $t^2=1$。

✅【答案】

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(1) $\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1$　(2) $2\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) $c=2$，$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，故 $a^2=\frac{4}{2/3}=6$，$b^2=a^2-c^2=2$。 椭圆 $C:\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1$。 (2) 设 $T(-3,t)$，则 $\overrightarrow{FT}=(-1,t)$，$PQ\perp TF$ 且过 $F(-2,0)$，可设 $PQ$：$\{\begin{array}{l}x=-2+st,\\ y=s\end{array}$（$s$ 为参数）。 代入椭圆：$(-2+st{)}^2+3s^2=6$，即 $(t^2+3)s^2-4ts-2=0$。 设 $P,Q$ 对应参数 $s_1,s_2$，则 $s_1+s_2=\frac{4t}{t^2+3}$，$s_1{s}_2=-\frac{2}{t^2+3}$。 $PQ$ 中点：$s_{\text{mid}}=\frac{2t}{t^2+3}$，$x_{\text{mid}}=-2+t\cdot \frac{2t}{t^2+3}=-\frac{6}{t^2+3}$。 四边形 $OPTQ$ 是平行四边形 $⟺$ 对角线 $OT$ 与 $PQ$ 互相平分，即中点重合： $\frac{-3+0}{2}=-\frac{6}{t^2+3}$ 且 $\frac{t}{2}=\frac{2t}{t^2+3}$，解得 $t^2=1$（$t\ne 0$）。 此时 $(t^2+3)s^2-4ts-2$ 即 $4s^2-4ts-2=0$，$|s_1-s_2|=\frac{\sqrt{16t^2+8(t^2+3)}}{t^2+3}=\frac{\sqrt{48}}{4}=\sqrt{3}$。 $|\overrightarrow{PQ}|=|s_1-s_2|\cdot \sqrt{t^2+1}=\sqrt{3}\times \sqrt{2}=\sqrt{6}$，$|OT|=\sqrt{9+t^2}=2\sqrt{3}$。 平行四边形面积 $S=\frac{1}{2}|\overrightarrow{OT}\times \overrightarrow{PQ}|=\frac{1}{2}\cdot |s_1-s_2|\cdot |-3-t^2|=\frac{1}{2}\times \sqrt{3}\times 4=2\sqrt{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆的标准方程与平行四边形面积

2. 核心方法：对角线互相平分定点；面积 $=\frac{1}{2}|OT\times PQ|$

3. 避坑指南：四边形 $OPTQ$ 为平行四边形 $⟺$ $OT$ 与 $PQ$ 中点重合（对角线互相平分），这给出 $t^2=1$；$|PQ|=\sqrt{3}\cdot \sqrt{t^2+1}=\sqrt{6}$，面积 $2\sqrt{3}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系。

2. 结论推广: $e=\frac{c}{a}$ 与焦点定方程；平行四边形对角线互相平分。

3. 方法推广: 解析几何中的平行四边形条件优先译成”中点重合”，联立后用韦达定理表示中点。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2014-山东卷文-21 解-椭圆斜率面积
• 2014-北京卷文-19 解-椭圆与垂直