2014-四川卷理-11 填-复数的除法运算

本题导读

本题考查复数的代数除法运算。重点在于掌握分子分母同乘以分母的共轭复数，从而将分母实数化的基本步骤。

📌【题干】

Question

（2014年四川卷(理)） 复数 $\frac{2-2i}{1+i}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 识别运算类型：这是一个复数的除法运算。
2. 确定化简方法：为了消去分母中的虚数单位 $i$，需要进行“分母实数化”。
3. 寻找共轭复数：分母是 $1+i$，其共轭复数为 $1-i$。
4. 执行计算：分子、分母同时乘以 $1-i$，利用 $(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$ 和 $i^2=-1$ 进行简化。

✅【答案】

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$-2i$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：分母实数化 根据复数除法法则，分子分母同乘以分母的共轭复数 $1-i$： $\frac{2-2i}{1+i}=\frac{(2-2i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}$

第二步：展开分子与分母

• 分母部分：利用平方差公式 $(1+i)(1-i)=1^2-i^2=1-(-1)=2$。
• 分子部分： $(2-2i)(1-i)=2(1-i)(1-i)=2(1-i{)}^2$ 由于 $(1-i{)}^2=1-2i+i^2=1-2i-1=-2i$， 所以分子为 $2\times (-2i)=-4i$。

第三步：化简得出结论 $\frac{-4i}{2}=-2i$

故答案为 $-2i$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数除法的基本步骤。

2. 核心方法：熟练运用常用复数幂次，如 $(1+i{)}^2=2i$ 和 $(1-i{)}^2=-2i$，可以大幅提高计算速度。

3. 避坑指南：在计算分母 $(1+i)(1-i)$ 时，常见错误是记成 $1^2-1^2=0$，务必牢记 $i^2=-1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 复数的模、复平面的坐标表示。

2. 结论推广: 对于 $\frac{a-ai}{1+i}$ 型复数，结果恒为 $-ai$。

3. 方法推广: 熟练运用常用复数幂次，如 $(1+i{)}^2=2i$ 和 $(1-i{)}^2=-2i$，可以大幅提高计算速度。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2015-湖南卷文-01 单-复数运算
• 2015-新课标II卷文-02 单-复数运算
• 2015-广东卷文-02 单-复数运算