2014-四川卷理-14 填-直线的交点与定点问题

本题导读

本题考查动态直线的交点轨迹问题。核心在于通过观察两条动态直线斜率的互为负倒数关系，判定交点的运动轨迹为圆，进而结合勾股定理与基本不等式求解乘积的最大值。

📌【题干】

Question

（2014年四川卷(理)） 设 $m\in \mathbb{R}$，过定点 $A$ 的动直线 $x+my=0$ 和过定点 $B$ 的动直线 $mx-y-m+3=0$ 交于点 $P(x,y)$，则 $|PA|\cdot |PB|$ 的最大值是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 寻找定点：
   • 对于 $x+my=0$，令系数项抵消可得定点 $A(0,0)$。
   • 对于 $mx-y-m+3=0$，变形为 $m(x-1)-(y-3)=0$，可得定点 $B(1,3)$。
2. 判定位置关系：
   • 直线 $l_1:x+my=0$ 的斜率 $k_1=-1/m$（当 $m\ne 0$ 时）。
   • 直线 $l_2:mx-y-m+3=0$ 的斜率 $k_2=m$。
   • 由于 $k_1\cdot k_2=-1$，判定两直线始终垂直，即 $PA\perp PB$。
3. 确定轨迹：根据直径所对的圆周角是直角，点 $P$ 的轨迹是以 $AB$ 为直径的圆（除去特殊点）。
4. 计算最值：在 Rt$△PAB$ 中，使用勾股定理 $|PA{|}^2+|PB{|}^2=|AB{|}^2$，再利用基本不等式求解 $|PA|\cdot |PB|$ 的最大值。

✅【答案】

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$5$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求定点 $A$ 和 $B$ 的坐标

1. 由 $x+my=0$，不论 $m$ 取何值，当 $x=0,y=0$ 时等式恒成立，故定点 $A(0,0)$。
2. 由 $mx-y-m+3=0⟹m(x-1)-(y-3)=0$，不论 $m$ 取何值，当 $x-1=0$ 且 $y-3=0$ 时等式恒成立，故定点 $B(1,3)$。

第二步：判定几何特征 观察两条直线的系数：

• 直线 $l_1$ 的方向向量为 $\overrightarrow{v_1}=(m,-1)$。
• 直线 $l_2$ 的方向向量为 $\overrightarrow{v_2}=(1,m)$。 因为 $\overrightarrow{v_1}\cdot \overrightarrow{v_2}=m\cdot 1+(-1)\cdot m=0$，所以 $l_1\perp l_2$。 即在交点 $P$ 处，总有 $PA\perp PB$。

第三步：计算 $|AB|$ 及应用不等式

1. 计算直径长度： $|AB|=\sqrt{(1-0{)}^2+(3-0{)}^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$
2. 根据勾股定理： $|PA{|}^2+|PB{|}^2=|AB{|}^2=10$
3. 利用基本不等式 $a^2+b^2\ge 2ab$： $10=|PA{|}^2+|PB{|}^2\ge 2|PA|\cdot |PB|$ $|PA|\cdot |PB|\le 5$ 当且仅当 $|PA|=|PB|$（即 $△PAB$ 为等腰直角三角形）时，等号成立。

故答案为 $5$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：垂直直线的斜率关系 $k_1{k}_2=-1$ 及其几何意义。

2. 核心方法：轨迹判定法。看到互相垂直的动直线交点，应优先联想到圆。

3. 避坑指南：本题若尝试消去参数 $m$ 得到轨迹方程 $x^2+y^2-x-3y=0$ 也是正确的，但不如直接利用垂直几何性质简便。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 直线系方程、基本不等式的等号成立条件。

2. 结论推广: 若两直线夹角为定值 $\theta$，则交点轨迹通常为圆弧（由正弦定理支持）。

3. 方法推广: 轨迹判定法。看到互相垂直的动直线交点，应优先联想到圆。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练 (Links)

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• 2013-新课标II卷理-12 单-直线的截距与交点
• 2023-新高考II卷-15 填-直线与圆