2014-大纲卷文-06 单-向量数量积

本题导读

$(2a-b)\cdot b=2a\cdot b-b^2=2\times \frac{1}{2}-1=0$，选 B。

📌【题干】

Question

（2014年大纲卷(文)） 已知 $a$、$b$ 为单位向量，其夹角为 $60^{\circ }$，则 $(2a-b)\cdot b=$ ()

A. $-1$　　　　　　　B. 0　　　　　　　C. 1　　　　　　　D. 2

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$(2a-b)\cdot b=2a\cdot b-b^2=2\times \frac{1}{2}-1=0$，选 B。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

$a$、$b$ 为单位向量且夹角 $60^{\circ }$：$a\cdot b=|a||b|\cos 60^{\circ }=1\times 1\times \frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，$b\cdot b=|b{|}^2=1$。

$(2a-b)\cdot b=2a\cdot b-b\cdot b=2\times \frac{1}{2}-1=0$。

选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：数量积的运算律；单位向量与夹角

2. 核心方法：分配律展开 + 定义式求 $a\cdot b$

3. 避坑指南：$b\cdot b=|b{|}^2=1$ 别误为 $b$；夹角 $60^{\circ }$ 的余弦是 $\frac{1}{2}$，$(2a-b)\cdot b=2\times \frac{1}{2}-1$ 恰好抵消为 0。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 向量数量积运算小题（doc 考点定位：平面向量），与 2014 年新课标Ⅱ文第 4 题（模平方相减）同章。

2. 结论推广: 一般地，$(\lambda a-b)\cdot b=\lambda a\cdot b-|b{|}^2$；单位向量夹角 $60^{\circ }$ 时 $a\cdot b=\frac{1}{2}$ 是高频数据。

3. 方法推广: 数量积混合运算：先分配展开，再把每个数量积按定义算成数值。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷理-15 填-向量的加法与数乘
• 2014-新课标II卷文-04 单-向量数量积