2014-新课标II卷文-04 单-向量数量积

本题导读

两式平方后相减：$|a+b{|}^2-|a-b{|}^2=4a\cdot b=4$，故 $a\cdot b=1$，选 A。

📌【题干】

Question

（2014年新课标II卷(文)） 设向量 $a$，$b$ 满足 $|a+b|=\sqrt{10}$，$|a-b|=\sqrt{6}$，则 $a\cdot b=$ ()

A. 1　　　　　　　B. 2　　　　　　　C. 3　　　　　　　D. 5

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两式平方后相减：$|a+b{|}^2-|a-b{|}^2=4a\cdot b=4$，故 $a\cdot b=1$，选 A。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

$|a+b{|}^2=|a{|}^2+2a\cdot b+|b{|}^2=10$，

$|a-b{|}^2=|a{|}^2-2a\cdot b+|b{|}^2=6$。

两式相减：$4a\cdot b=10-6=4$，所以 $a\cdot b=1$。选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量模的平方；数量积的运算律

2. 核心方法：“平方相减”消去 $|a{|}^2+|b{|}^2$

3. 避坑指南：模的平方要整体展开：$|a\pm b{|}^2=|a{|}^2\pm 2a\cdot b+|b{|}^2$，别把 $2a\cdot b$ 漏成 $a\cdot b$；相减时恰好消去 $|a{|}^2+|b{|}^2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 向量模与数量积的基础题（doc 考点定位：平面向量），与 2014 年新课标Ⅰ文第 6 题同卷考向量。

2. 结论推广: 一般地，$|a+b{|}^2-|a-b{|}^2=4a\cdot b$，即 $a\cdot b$ 可由”和、差模”直接算出；这也是平行四边形对角线定理的向量形式。

3. 方法推广: 见到 $|a\pm b|$ 先平方展开，把数量积”解”出来。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷文-06 单-向量中点
• 2015-新课标I卷文-02 单-平面向量