2014-大纲卷文-11 单-双曲线焦距

本题导读

$b=\sqrt{3}$（焦点到渐近线距离），$c=2a$ 联立得 $a=1$、$c=2$，焦距 4，选 C。

📌【题干】

Question

（2014年大纲卷(文)） 双曲线 $C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ $(a>0,b>0)$ 的离心率为 2，焦点到渐近线的距离为 $\sqrt{3}$，则 $C$ 的焦距等于()

A. 2　　　　　　　B. $2\sqrt{2}$　　　　　　　C. 4　　　　　　　D. $4\sqrt{2}$

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$b=\sqrt{3}$（焦点到渐近线距离），$c=2a$ 联立得 $a=1$、$c=2$，焦距 4，选 C。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

渐近线为 $y=\pm \frac{b}{a}x$，取 $bx-ay=0$。右焦点 $(c,0)$ 到它的距离

$d=\frac{|bc|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{bc}{c}=b$。

由题设 $b=\sqrt{3}$。又 $e=\frac{c}{a}=2$，$c=2a$；代入 $c^2=a^2+b^2$：$4a^2=a^2+3$，$a=1$，$c=2$。

焦距 $2c=4$。选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线的离心率；焦点到渐近线的距离；焦距

2. 核心方法：重要结论：焦点到渐近线的距离恒等于 $b$

3. 避坑指南：“焦点到渐近线的距离 = $b$“是双曲线的固定结论，可省去点到直线距离的计算；焦距是 $2c$ 不是 $c$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 双曲线几何量计算题（doc 考点定位：双曲线），与 2014 年新课标Ⅰ理第 4 题（双曲线离心率）同族。

2. 结论推广: 一般地，双曲线中焦点到渐近线的距离恒为 $b$（两条渐近线、两个焦点共四种组合结果相同）；$e=2⟺c^2=4a^2⟺b^2=3a^2$。

3. 方法推广: 双曲线小题熟记三组互译：$e$ 的值 ⟺ $a:b:c$ 的比例；渐近线斜率 $\frac{b}{a}$；焦点到渐近线距离 $b$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷文-04 单-双曲线离心率
• 2014-新课标I卷理-04 单-双曲线标准方程