2014-大纲卷文-12 单-抽象函数周期

本题导读

$f(x+2)=f(2-x)$ 与奇函数联立得 $f(x+4)=-f(x)$、周期 8；$f(8)=f(0)=0$，$f(9)=f(1)=1$，和为 1，选 D。

📌【题干】

Question

（2014年大纲卷(文)） 奇函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}$，若 $f(x+2)$ 为偶函数，$f(1)=1$，则 $f(8)+f(9)=$ ()

A. $-2$　　　　　　　B. $-1$　　　　　　　C. 0　　　　　　　D. 1

🔍【思路分析】

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$f(x+2)=f(2-x)$ 与奇函数联立得 $f(x+4)=-f(x)$、周期 8；$f(8)=f(0)=0$，$f(9)=f(1)=1$，和为 1，选 D。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

$g(x)=f(x+2)$ 为偶函数：$f(x+2)=f(-x+2)$，即 $f(t)=f(4-t)$（$t=x+2$）——图象关于直线 $x=2$ 对称。

用 $t$ 换成 $-t+4$ 反复用：$f(t+4)=f(-t)=-f(t)$（奇函数），所以 $f(t+8)=-f(t+4)=f(t)$，$f$ 是周期为 8 的周期函数。

$f(0)=0$（奇函数在原点有定义则为 0），$f(8)=f(0)=0$；$f(9)=f(1+8)=f(1)=1$。

$f(8)+f(9)=1$。选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数的奇偶性；对称性与周期性的转化

2. 核心方法：”$f(x+2)$ 为偶”⟺ $f$ 关于 $x=2$ 对称；“对称 + 奇”⟹ 周期 $2\times$ 对称轴距离的 2 倍

3. 避坑指南：①”$f(x+2)$ 为偶函数”说的是 $g(x)=f(x+2)$ 满足 $g(-x)=g(x)$，展开是 $f(-x+2)=f(x+2)$，别误写成 $f(-x+2)=f(x+4)$；②$-f(x)$ 的周期是原周期的 2 倍这一步：$f(t+4)=-f(t)$ 是”半周期反号”，合起来周期为 8。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 抽象函数性质综合题（doc 考点定位：函数的性质），与 2014 年新课标Ⅱ文第 15 题（对称求值）、新课标Ⅰ理第 3 题同族。

2. 结论推广: 一般地，奇函数 + 关于 $x=a$ 对称 $⟺f(x+2a)=-f(x)$（从而 $f$ 以 $4a$ 为周期）；偶函数 + 关于 $x=a$ 对称 $⟺f$ 以 $2a$ 为周期。

3. 方法推广: 抽象函数求值：把每条性质翻译成函数方程，通过自变量平移”接力”，最终化到已知函数值上。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷文-05 单-函数奇偶性
• 2014-新课标II卷文-15 填-函数对称性