2014-大纲卷理-15 填-切线

本题导读

本题考查圆的切线性质以及三角函数的倍角转换。通过圆外一点向圆引两条切线所形成的几何模型，利用直角三角形求出夹角一半的正切值，再通过二倍角公式求解。

📌【题干】

Question

（2014年大纲卷(理)） 直线 $l_1$ 和 $l_2$ 是圆 $x^2+y^2=2$ 的两条切线，若 $l_1$ 与 $l_2$ 的交点为 $(1,3)$，则 $l_1$ 与 $l_2$ 的夹角的正切值等于 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立几何模型：设圆心为 $O(0,0)$，交点为 $A(1,3)$。连接 $OA$，$OA$ 必平分 $l_1$ 与 $l_2$ 的夹角。

2. 分析直角三角形：设切点为 $T$，连接 $OT$，则 $OT\perp AT$。在 $Rt△OTA$ 中，$OT$ 为圆的半径，$OA$ 的长度可通过两点间距离公式求得。

3. 计算半角正切：设夹角为 $2\theta$，则 $\theta$ 为 $OA$ 与切线的夹角。利用 $\sin \theta =\frac{r}{|OA|}$ 求出 $\theta$ 的三角函数值。

4. 二倍角公式求解：利用 $\tan 2\theta =\frac{2\tan \theta }{1-{\tan }^2\theta }$ 计算最终结果。

✅【答案】

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$\frac{4}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：计算基本几何量

圆 $C:x^2+y^2=2$ 的圆心 $O(0,0)$，半径 $r=\sqrt{2}$。

交点 $A(1,3)$。

根据距离公式，$|OA|=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$。

第二步：求夹角一半的三角函数值

设 $l_1$ 与 $l_2$ 的夹角为 $2\theta$（$\theta$ 为锐角）。

在以圆心 $O$、交点 $A$ 和切点构成的直角三角形中：

$\sin \theta =\frac{r}{|OA|}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$。

由此可得：

$\cos \theta =\sqrt{1-{\sin }^2\theta }=\sqrt{1-\frac{1}{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$。

则 $\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }=\frac{1}{2}$。

第三步：应用二倍角公式

根据正切的二倍角公式：

$\tan 2\theta =\frac{2\tan \theta }{1-{\tan }^2\theta }$

代入 $\tan \theta =\frac{1}{2}$：

$\tan 2\theta =\frac{2\times \frac{1}{2}}{1-(\frac{1}{2}{)}^2}=\frac{1}{1-\frac{1}{4}}=\frac{1}{\frac{3}{4}}=\frac{4}{3}$

最终答案： $\frac{4}{3}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆外一点引切线的对称性：$OA$ 平分切线夹角；切线垂直于切点半径。

2. 核心方法：将复杂的解析几何问题转化为简单的平面几何直角三角形问题，再配合三角公式。

3. 避坑指南：求得 $\tan \theta =\frac{1}{2}$ 后，千万不要忘记题目求的是 $l_1$ 与 $l_2$ 的夹角（即 $2\theta$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 切线长公式 $|AT|=\sqrt{d^2-r^2}$、圆的切点弦方程。

2. 结论推广: 若点 $A$ 到圆心的距离为 $d$，半径为 $r$，则夹角 $2\theta$ 满足 $\sin \theta =\frac{r}{d}$。

3. 方法推广: 涉及切线夹角、弦长等问题，优先构造圆心、切点、外部点组成的直角三角形。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 10.02 倍角、降幂与升幂公式
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2026-新高考I卷-04 单-切线方程
• 2025-新高考I卷-12 填-切线方程(缺思路分析)
• 2015-陕西卷文-15 填-极值切线