2014-天津卷文-03 单-命题否定

本题导读

把 $\forall$ 换成 $\exists$、把结论反向即可。

📌【题干】

Question

（2014年天津卷(文)） 已知命题 $p:\forall x>0$，总有 $(x+1){\mathrm{e}}^x>1$，则 $\neg p$ 为()

A. $\exists x_0⩽0$，使得 $(x_0+1){\mathrm{e}}^{x_0}⩽1$　　　　　B. $\exists x_0>0$，使得 $(x_0+1){\mathrm{e}}^{x_0}⩽1$

C. $\forall x>0$，总有 $(x+1){\mathrm{e}}^x⩽1$　　　　　　D. $\forall x⩽0$，总有 $(x+1){\mathrm{e}}^x⩽1$

🔍【思路分析】

破题导航

全称量词命题的否定是存在量词命题，条件 $x>0$ 不变，结论中 $>$ 变 $⩽$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

命题 $p$ 是“全称量词命题”，其否定为“存在量词命题”。 把量词 $\forall x>0$ 改为 $\exists x_0>0$，把结论 $(x+1){\mathrm{e}}^x>1$ 改为 $(x_0+1){\mathrm{e}}^{x_0}⩽1$，得 $\neg p:\exists x_0>0$，使得 $(x_0+1){\mathrm{e}}^{x_0}⩽1$，故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：全称量词命题的否定

2. 核心方法：量词与结论同时否定

3. 避坑指南：否定全称命题时，量词 $\forall$ 换成 $\exists$，条件 $x>0$ 属量词的一部分要一并改写为 $x_0>0$，只有结论 $(x+1){\mathrm{e}}^x>1$ 改成 $⩽1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 全称量词与存在量词、命题的否定。

2. 结论推广: $\neg (\forall x\in D,p(x))$ 为 $\exists x_0\in D,\neg p(x_0)$；$\neg (\exists x_0\in D,p(x_0))$ 为 $\forall x\in D,\neg p(x)$。

3. 方法推广: 写命题的否定：先换量词，再否定结论，两个动作缺一不可。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2014-安徽卷文-02 单-命题否定
• 2014-福建卷文-05 单-命题否定