2014-天津卷文-08 单-三角周期

本题导读

先把 $f(x)$ 化为一个正弦型函数，再解 $f(x)=1$ 写出交点的横坐标。

📌【题干】

Question

（2014年天津卷(文)） 已知函数 $f(x)=\sqrt{3}\sin \omega x+\cos \omega x$（$\omega >0$），$x\in \mathbf{R}$.在曲线 $y=f(x)$ 与直线 $y=1$ 的交点中，若相邻交点距离的最小值为 $\frac{\pi }{3}$，则 $f(x)$ 的最小正周期为()

A. $\frac{\pi }{2}$　　　　　　　B. $\frac{2\pi }{3}$　　　　　　　C. $\pi$　　　　　　　D. $2\pi$

🔍【思路分析】

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$f(x)=2\sin \left(\omega x+\frac{\pi }{6}\right)$，解 $2\sin \left(\omega x+\frac{\pi }{6}\right)=1$ 得两类横坐标。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

由辅助角公式 $f(x)=\sqrt{3}\sin \omega x+\cos \omega x=2\sin \left(\omega x+\frac{\pi }{6}\right)$。 由 $2\sin \left(\omega x+\frac{\pi }{6}\right)=1$ 得 $\sin \left(\omega x+\frac{\pi }{6}\right)=\frac{1}{2}$，即 $\omega x+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{6}+2k\pi$ 或 $\omega x+\frac{\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}+2k\pi$（$k\in \mathbf{Z}$）， 解得 $x=\frac{2k\pi }{\omega }$ 或 $x=\frac{2k\pi }{\omega }+\frac{2\pi }{3\omega }$。 相邻两交点的距离为 $\frac{2\pi }{3\omega }$ 或 $\frac{4\pi }{3\omega }$，最小值为 $\frac{2\pi }{3\omega }$。 由 $\frac{2\pi }{3\omega }=\frac{\pi }{3}$ 得 $\omega =2$，故最小正周期 $T=\frac{2\pi }{\omega }=\pi$，故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：辅助角公式与三角函数的周期性

2. 核心方法：由交点距离反求 $\omega$

3. 避坑指南：解 $\sin \left(\omega x+\frac{\pi }{6}\right)=\frac{1}{2}$ 会得到“两支”交点，相邻交点距离有 $\frac{2\pi }{3\omega }$ 与 $\frac{4\pi }{3\omega }$ 两个值，题意中的“最小值”指的是前者。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 三角恒等变换与三角函数的图象、性质。

2. 结论推广: $a\sin \theta +b\cos \theta =\sqrt{a^2+b^2}\sin (\theta +\phi )$；相邻同侧交点距离为 $\frac{2\pi }{3\omega }$，异侧交点距离为 $\frac{4\pi }{3\omega }$。

3. 方法推广: “交点距离”一类问题先解方程写出交点横坐标的通项，再比较相邻两点的间距，最后落到周期。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2014-山东卷文-12 填-三角周期
• 2014-陕西卷文-02 单-三角周期