2014-天津卷文-10 填-三视图体积

本题导读

上部为圆锥、下部为圆柱，分别代入体积公式后相加。

📌【题干】

Question

（2014年天津卷(文)） 已知一个几何体的三视图如图所示（单位：$\mathrm{m}$），则该几何体的体积为　　　${\mathrm{m}}^3$.

🔍【思路分析】

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由正视图、侧视图的上部是三角形、下部是矩形可知：上部是圆锥、下部是圆柱。

✅【答案】

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$\frac{20\pi }{3}$

✍【详细解析】

Abstract

由三视图可知：正视图、侧视图的上部均为底宽 $4$、高 $2$ 的等腰三角形，下部均为宽 $2$、高 $4$ 的矩形；俯视图是以 $2$ 为半径的圆，内部虚线圆半径为 $1$。 所以该几何体上部是底面半径 $2$、高 $2$ 的圆锥，下部是底面半径 $1$、高 $4$ 的圆柱。 $V=V_{\text{圆锥}}+V_{\text{圆柱}}=\frac{1}{3}\pi \times 2^2\times 2+\pi \times 1^2\times 4=\frac{8\pi }{3}+4\pi =\frac{20\pi }{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：由三视图还原几何体

2. 核心方法：组合体的体积计算

3. 避坑指南：上部圆锥底面半径是 $2$、高是 $2$，下部圆柱底面半径是 $1$、高是 $4$；圆锥半径比圆柱大，两者不是“同一个底面”，体积要分开算再相加。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 空间几何体的三视图与体积。

2. 结论推广: 圆柱 $V=\pi r^{2}h$，圆锥 $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$；俯视图中虚线表示被遮挡的轮廓。

3. 方法推广: 三视图还原：正视图、侧视图的高对应几何体的高，俯视图的轮廓对应底面；组合体按“分割求和”处理。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2014-新课标II卷文-06 单-三视图圆柱切削
• 2015-新课标II卷文-06 单-三视图