2015-新课标II卷文-06 单-三视图

本题导读

由三视图还原”截角正方体”。先认清楚截去的是什么形状（一个角上的三棱锥），算出它占正方体的比例，再求与剩余部分的比值。

📌【题干】

Question

（2015年新课标II卷(文)） 一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 ()

A. $\frac{1}{8}$　　　　　　　B. $\frac{1}{7}$　　　　　　　C. $\frac{1}{6}$　　　　　　　D. $\frac{1}{5}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由三视图还原：剩余部分是正方体切掉一个”角”。
2. 这个角是以正方体顶点为公共顶点的三棱锥，三条棱两两垂直且长度都等于棱长。
3. 它的体积是正方体的 $\frac{1}{6}$，剩余部分为 $\frac{5}{6}$，再作比。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

由三视图可知，截去的部分是正方体一个角上的三棱锥，它从同一个顶点出发的三条棱两两垂直且长度都等于正方体的棱长 $a$.

该三棱锥的体积

$V_{\text{截}}=\frac{1}{3}\times \left(\frac{1}{2}{a}^2\right)\times a=\frac{1}{6}{a}^3,$

占正方体体积的 $\frac{1}{6}$；剩余部分体积为

$a^3-\frac{1}{6}{a}^3=\frac{5}{6}{a}^3.$

故截去部分与剩余部分的体积之比为

$\frac{1}{6}:\frac{5}{6}=1:5.$

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三视图还原几何体；三棱锥的体积公式；体积比。

2. 核心方法：“正方体切角得到三棱锥，其体积为正方体的 $\frac{1}{6}$“是必须记住的常用结论，能省掉大量推导。

3. 避坑指南：① 看清题目问的是”截去部分与剩余部分之比”，不是截去部分与整体的比——若求后者答案是 $\frac{1}{6}$，会误选 C；② 别把三个视图当成三个独立几何体。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：三视图还原是新课标Ⅱ卷选择题的固定题型（每年一题），2015 年理科卷同位置也考三视图，只是几何体不同。

2. 结论推广: 若截去的是”平行于面的一个三棱柱”而非”角上的三棱锥”，体积比例将完全不同——因此三视图题的关键是先判断截面形状再计算。

3. 方法推广: 三视图还原四步：① 先定”基本几何体”（柱、锥、台、球或其组合）；② 再定”切、挖、拼、接”的位置；③ 画出直观草图核对；④ 最后才代公式计算。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2015-新课标II卷理-6
• 2014-新课标II卷理-06 单-由三视图还原几何体