2012-天津卷文-10 填-三视图求体积

本题导读

本题考查由三视图还原几何体，以及组合体的体积。

📌【题干】

Question

（2012年天津卷(文)） 一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为$\underline{}$ ${\mathrm{m}}^3$.

!

🔍【思路分析】

破题导航

下方长方体 $3\times 4\times 2=24$，上方平放直五棱柱（底面五边形面积 $\frac{3}{2}$、柱高 $4$）体积 $6$，共 $30$。

✅【答案】

点击查看答案

$30$

✍【详细解析】

Abstract

由三视图可知该几何体是上下拼接的组合体：

下部为长、宽、高分别是 $3$、$4$、$2$ 的长方体，体积 $V_1=3\times 4\times 2=24$。

上部为平放的直五棱柱：其底面（正视图中上部带斜边的五边形）顶点为 $(0,2)$、$(1,2)$、$(2,3)$、$(3,3)$、$(3,2)$，面积 $S=\frac{1}{2}\times 1\times 1+1\times 1=\frac{3}{2}$；柱体的高（前后方向）为 $4$，体积 $V_2=\frac{3}{2}\times 4=6$。

故 $V=V_1+V_2=24+6=30{\mathrm{m}}^3$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：由三视图还原几何体；柱体与长方体的体积公式

核心方法：按上下分割，长方体与直棱柱分别计算后求和

避坑指南：上部五棱柱的底面是正视图上部那个五边形，柱高是侧视图的宽 $4$，别把正视图的 $3$ 误当柱高；俯视图的三段 $1$ 对应五边形底边的三段。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三视图组合体体积题，与 2014 年天津卷文第 10 题、2012 年新课标Ⅰ文第 7 题同族。

结论推广：直棱柱体积 $=$ 垂直于侧棱的截面面积 $\times$ 侧棱长；组合体按分割成规则体处理。

方法推广：三视图先定外框长方体，再看切割或拼接细节，用长对正、高平齐、宽相等核对每一维。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2014-天津卷文-10 填-三视图体积
• 2015-天津卷文-10 填-三视图体积
• 2012-新课标卷文-07 单-三视图体积