2014-天津卷理-01 单-复数代数形式的乘除运算

本题导读

本题考查复数代数形式的乘除运算，以及复数共轭与模的性质。

📌【题干】

Question

（2014年天津卷(理)） $i$ 是虚数单位，复数 $\frac{7+i}{3+4i}=$ ()

A. $1-i$　　　　B. $-1+i$　　　　C. $\frac{17}{25}+\frac{31}{25}i$　　　　D. $-\frac{17}{7}+\frac{25}{7}i$

🔍【思路分析】

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1. 分子分母同乘以分母的共轭复数 $3-4i$。
2. 利用复数乘法法则及 $i^2=-1$ 化简。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

原式 $=\frac{(7+i)(3-4i)}{(3+4i)(3-4i)}=\frac{21-28i+3i-4i^2}{3^2-(4i{)}^2}=\frac{21-25i+4}{9+16}=\frac{25-25i}{25}=1-i$。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数代数形式的乘除运算。

2. 核心方法：分子分母同乘分母的共轭复数，利用 $i^2=-1$ 化简。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 复数除法的分母实数化。

2. 结论推广: $\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2}$。

3. 方法推广: 复数除法统一用分母实数化处理。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

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• 2015-新课标II卷文-02 单-复数运算
• 2015-广东卷文-02 单-复数运算