2012-广东卷文-01 单-复数除法运算

本题导读

本题考查复数的除法运算。

📌【题干】

Question

（2012年广东卷(文)） 设 $\mathrm{i}$ 为虚数单位，则复数 $\frac{3+4\mathrm{i}}{\mathrm{i}}=$()

A. $-4-3\mathrm{i}$　　　　　B. $-4+3\mathrm{i}$　　　　　C. $4+3\mathrm{i}$　　　　　D. $4-3\mathrm{i}$

🔍【思路分析】

破题导航

$\frac{3+4\mathrm{i}}{\mathrm{i}}=\frac{(3+4\mathrm{i})(-\mathrm{i})}{\mathrm{i}(-\mathrm{i})}=4-3\mathrm{i}$。

✅【答案】

点击查看答案

D

✍【详细解析】

Abstract

$\frac{3+4\mathrm{i}}{\mathrm{i}}=\frac{(3+4\mathrm{i})\cdot (-\mathrm{i})}{\mathrm{i}\cdot (-\mathrm{i})}=\frac{-3\mathrm{i}-4{\mathrm{i}}^2}{1}=4-3\mathrm{i}$。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数代数形式的除法；${\mathrm{i}}^2=-1$

核心方法：分母实数化：分子分母同乘 $\mathrm{i}$ 的共轭 $-\mathrm{i}$（$\mathrm{i}(-\mathrm{i})=1$）

避坑指南：$\mathrm{i}\cdot (-\mathrm{i})=-{\mathrm{i}}^2=1$，分母直接变 $1$；分子里 $4\mathrm{i}\times (-\mathrm{i})=-4{\mathrm{i}}^2=4$，虚部系数是 $-3$，别漏符号。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数除法入口题，与 2014 年天津卷理第 1 题、2014 年新课标Ⅰ理第 2 题同族。

结论推广：$\frac{1}{\mathrm{i}}=-\mathrm{i}$，故 $\frac{a+b\mathrm{i}}{\mathrm{i}}=b-a\mathrm{i}$。

方法推广：复数除法先背 $\frac{1}{\mathrm{i}}=-\mathrm{i}$，形如除以纯虚数的式子一步到位。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2014-天津卷理-01 单-复数代数形式的乘除运算
• 2014-新课标I卷理-02 单-复数的乘除与幂运算
• 2013-安徽卷理-01 单-复数的代数表示及其几何意义