2014-天津卷理-02 单-线性规划

本题导读

本题考查线性规划，以及目标函数最值的图解法。

📌【题干】

Question

（2014年天津卷(理)） 设变量 $x,y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x+y-2\ge 0,\\ x-y-2\le 0,\\ y\ge 1,\end{array}$ 则目标函数 $z=x+2y$ 的最小值为()

A. $2$　　　　　　　B. $3$　　　　　　　C. $4$　　　　　　　D. $5$

🔍【思路分析】

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1. 画出约束条件表示的可行域。
2. 将目标函数转化为直线方程的截距形式，平移直线求出在可行域内的最优解。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

画出可行域，直线 $x+y-2=0$, $x-y-2=0$, $y=1$ 围成一个三角形区域。 联立 $\{\begin{array}{l}x-y-2=0\\ y=1\end{array}$ 得交点 $(3,1)$。 联立 $\{\begin{array}{l}x+y-2=0\\ y=1\end{array}$ 得交点 $(1,1)$。 联立 $\{\begin{array}{l}x+y-2=0\\ x-y-2=0\end{array}$ 得交点 $(2,0)$（不在可行域内，实际边界由 $y\ge 1$ 限制，交点为 $(3,1)$ 和 $(1,1)$ 及另一端点）。 精确顶点为：$A(1,1)$，$B(3,1)$，以及 $x+y-2=0$ 与 $y=1$ 交于 $(1,1)$？等等： 当 $y=1$ 时，$x+1-2\ge 0⟹x\ge 1$；$x-1-2\le 0⟹x\le 3$。故可行域顶点为 $(1,1),(3,1)$。 又 $x+y-2=0$ 和 $x-y-2=0$ 交于 $(2,0)$，但 $y\ge 1$，所以下边界是 $y=1$。 实际上，约束条件对应的顶点为：

1. $y=1$ 与 $x+y-2=0$ 的交点：$(1,1)$。
2. $y=1$ 与 $x-y-2=0$ 的交点：$(3,1)$。
3. $x+y-2=0$ 与 $x-y-2=0$ 的交点：$(2,0)$ 不满足 $y\ge 1$。 检查边界：当 $x=3,y=1$ 时，$3+1-2=2\ge 0$，$3-1-2=0\le 0$，满足。 代入各顶点求 $z=x+2y$： 点 $(1,1)$：$z=1+2(1)=3$。 点 $(3,1)$：$z=3+2(1)=5$。 故最小值为 $3$。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线性规划求目标函数最小值。

2. 核心方法：作可行域，平移目标直线求最优顶点代入比较。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 目标函数截距的几何意义。

2. 结论推广: 目标函数 $z=x+2y$ 在可行域顶点 $(1,1)$ 处取最小值 $3$。

3. 方法推广: 线性规划求最值画图后代入各顶点比较。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2015-陕西卷文-11 单-线性规划
• 2015-福建卷文-10 单-线性规划
• 2015-湖南卷文-04 单-线性规划