2014-安徽卷文-06 单-直线与圆

本题导读

$|OP|=2$，圆半径 1，临界情形是切线；求两条切线的倾斜角即得范围端点。

📌【题干】

Question

（2014年安徽卷(文)） 过点 $P(-\sqrt{3},-1)$ 的直线 $l$ 与圆 $x^2+y^2=1$ 有公共点，则直线 $l$ 的倾斜角的取值范围是()

A. $(0,\frac{\pi }{6}]$　　　　　B. $(0,\frac{\pi }{3}]$　　　　　C. $[0,\frac{\pi }{6}]$　　　　　D. $[0,\frac{\pi }{3}]$

🔍【思路分析】

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设倾斜角 $\alpha$，用方向向量写点线距离，令 $d⩽1$ 解出 $\alpha$。

✅【答案】

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（D）$[0,\frac{\pi }{3}]$

✍【详细解析】

Abstract

设倾斜角为 $\alpha \in [0,\pi )$，取单位方向向量 $(\cos \alpha ,\sin \alpha )$，则 $P$ 到直线 $l$ 的距离 $d=|(-\sqrt{3})\sin \alpha -(-1)\cos \alpha |=|\cos \alpha -\sqrt{3}\sin \alpha |=2\left|\cos (\alpha +\frac{\pi }{3})\right|$ 有公共点须 $d⩽1$，即 $\left|\cos (\alpha +\frac{\pi }{3})\right|⩽\frac{1}{2}$。由 $\alpha +\frac{\pi }{3}\in [\frac{\pi }{3},\frac{4\pi }{3})$，解得 $\alpha +\frac{\pi }{3}\in [\frac{\pi }{3},\frac{2\pi }{3}]$，故 $\alpha \in [0,\frac{\pi }{3}]$。故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直线与圆的位置关系

2. 核心方法：点线距离与半径比较

3. 避坑指南：恰好相切（$d=1$）也有公共点，故区间是闭的；解含绝对值的三角不等式时注意 $\alpha +\frac{\pi }{3}$ 的实际范围是 $[\frac{\pi }{3},\frac{4\pi }{3})$，别误当成 $[0,2\pi )$ 全体求解。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 几何直观：$|OP|=2$，两条切线与 $OP$ 成 $30^{\circ }$，$OP$ 方向角为 $30^{\circ }$，故切线倾斜角为 $0$ 与 $\frac{\pi }{3}$，与代数结果一致。

2. 结论推广: 过圆外一点 $P$ 的直线与圆有公共点 $⟺$ 倾斜角介于两切线之间（含端点）。

3. 方法推广: 先算 $|OP|$ 与 $r$ 判断点在圆外，再求切线定区间；代数法（距离不等式）用于验证。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.01 直线的倾斜角与斜率
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2014-安徽卷理-04 单-极坐标互化
• 2014-新课标I卷理-19 解-线面垂直