2014-安徽卷文-18 解-数列求和

本题导读

(1)两边除以 $n(n+1)$ 得 $\frac{a_{n+1}}{n+1}-\frac{a_n}{n}=1$；(2)$a_n=n^2$，$b_n=n\cdot 3^n$，错位相减。

📌【题干】

Question

（2014年安徽卷(文)） 数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，$n{a}_{n+1}=(n+1)a_n+n(n+1)$，$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$.

(1) 证明：数列 $\left\{\frac{a_n}{n}\right\}$ 是等差数列；

(2) 设 $b_n=3^n\cdot \sqrt{a_n}$，求数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$.

🔍【思路分析】

破题导航

递推式除以 $n(n+1)$ 恰好裂开；$b_n=n\cdot 3^n$ 是等差 × 等比结构。

✅【答案】

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(1)见解析；(2)$S_n=\frac{(2n-1)\cdot 3^{n+1}+3}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

(1)将 $n{a}_{n+1}=(n+1)a_n+n(n+1)$ 两边同除以 $n(n+1)$，得 $\frac{a_{n+1}}{n+1}=\frac{a_n}{n}+1$。故 $\left\{\frac{a_n}{n}\right\}$ 是首项 $\frac{a_1}{1}=1$、公差 $1$ 的等差数列。 (2) 由(1)$\frac{a_n}{n}=n$，故 $a_n=n^2$，$b_n=3^n\sqrt{n^2}=n\cdot 3^n$。 $S_n=1\cdot 3+2\cdot 3^2+\cdots +n\cdot 3^n$，$3S_n=1\cdot 3^2+\cdots +(n-1)\cdot 3^n+n\cdot 3^{n+1}$，两式相减：$-2S_n=3+3^2+\cdots +3^n-n\cdot 3^{n+1}$，即 $2S_n=n\cdot 3^{n+1}-\frac{3^{n+1}-3}{2}=\frac{(2n-1)3^{n+1}+3}{2}$，故 $S_n=\frac{(2n-1)\cdot 3^{n+1}+3}{4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：数列递推构造与错位相减求和

2. 核心方法：同除 $n(n+1)$ 构造等差

3. 避坑指南：$b_n=3^n\sqrt{n^2}=n\cdot 3^n$（$n>0$ 开方就是 $n$），别写成 $n^2\cdot 3^n$；错位相减后剩余等比部分是 $3+3^2+\cdots +3^n$，求和后合并别漏系数。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: “递推构造等差 + 等差乘等比求和”的双段式数列解答题，标准模型。

2. 结论推广: 推广：$n{a}_{n+1}=(n+1)a_n+f(n)(n+1)$ 型，除以 $n(n+1)$ 后 $\frac{a_n}{n}$ 的递推化为可求和形式。

3. 方法推广: 错位相减自查三点：乘公比后首项对齐、减法方向一致、剩余等比和的首末项。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练 (Links)

• 2014-四川卷理-19 解-等差数列的通项与前 n 项和
• 2014-新课标I卷理-17 解-由 a_n 与 S_n 的关