2014-安徽卷理-04 单-极坐标互化

本题导读

本题考查极坐标方程、参数方程与直角坐标方程的转化，以及直线被圆截得弦长的求法。核心在于通过转化统一坐标系，利用圆的几何性质（弦长公式）进行求解。

📌【题干】

Question

（2014年安徽卷(理)） 以平面直角坐标系的原点为极点，$x$ 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线 $l$ 的参数方程是 $\{\begin{array}{l}x=t+1\\ y=t-3\end{array}$（$t$ 为参数），圆 $C$ 的极坐标方程是 $\rho =4\cos \theta$，则直线 $l$ 被圆 $C$ 截得的弦长为()

A. $\sqrt{14}$　　　　　　　B. $2\sqrt{14}$　　　　　　　C. $\sqrt{2}$　　　　　　　D. $2\sqrt{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 统一坐标系：将直线的参数方程和圆的极坐标方程均转化为直角坐标方程。
2. 确定圆心与半径：由圆的直角坐标方程得出圆心坐标和半径 $R$。
3. 计算点线距离：利用点到直线的距离公式，求出圆心到直线 $l$ 的距离 $d$。
4. 求解弦长：利用圆中弦长、半径、弦心距构成的直角三角形关系，通过公式 $L=2\sqrt{R^2-d^2}$ 计算。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：转化直线方程 已知直线 $l$ 参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=t+1\\ y=t-3\end{array}$。 由 $t=x-1$ 代入 $y=(x-1)-3$，整理得直角坐标方程为： $x-y-4=0$

第二步：转化圆方程 已知圆 $C$ 极坐标方程为 $\rho =4\cos \theta$。 两边同乘以 $\rho$ 得 ${\rho }^2=4\rho \cos \theta$。 根据转化公式 $x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta ,{\rho }^2=x^2+y^2$： 代入得 $x^2+y^2=4x$，整理为标准方程： $(x-2{)}^2+y^2=4$ 由此可知，圆心为 $(2,0)$，半径 $R=2$。

第三步：计算弦心距 $d$ 圆心 $(2,0)$ 到直线 $x-y-4=0$ 的距离： $d=\frac{|2-0-4|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$

第四步：计算弦长 $L$ 根据勾股定理： $L=2\sqrt{R^2-d^2}=2\sqrt{2^2-(\sqrt{2}{)}^2}=2\sqrt{4-2}=2\sqrt{2}$

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：极坐标、参数方程与直角坐标方程互化，直线被圆截得的弦长。

2. 核心方法：统一为直角坐标方程，求圆心到直线距离，用 $L=2\sqrt{R^2-d^2}$ 求弦长。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 圆的弦长公式与勾股定理。

2. 结论推广: 直线被圆截得弦长 $L=2\sqrt{R^2-d^2}$。

3. 方法推广: 涉及极坐标与参数方程的几何问题，先统一坐标系再处理。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2013-重庆卷理-15 填-极坐标互化
• 2013-安徽卷理-07 单-极坐标互化
• 2013-天津卷理-11 填-极坐标互化